[論文レビュー] At the Edge of Criticality: Markov Chains with Asymptotically Zero Drift

Denis Denisov, Dmitry Korshunov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 49被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、漸近的にゼロのドリフトを示す時間定常マルコフ連鎖（一般的にランベールの問題として知られる）を分析するための新しいCramér–Doob h変換手法を開発する。この手法により、再帰時間および不変測度の正確な尾漸近を導出可能となる。ドリフト対分散比から得られる上調和テスト関数を構築することで、測度変更下での確率的有界性を実現し、古典的リャプノフ関数の限界を克服。非一様性、再帰性、正再帰性に関する鋭い基準が得られる。

ABSTRACT

The main goal of this text is comprehensive study of time homogeneous Markov chains on the real line whose drift tends to zero at infinity, we call such processes Markov chains with asymptotically zero drift. Traditionally this topic is referred to as Lamperti's problem. Time homogeneous Markov chains with asymptotically zero drift may be viewed as a subclass of perturbed in space random walks. The latter are of basic importance in the study of various applied stochastic models, among them branching and risk processes, queueing systems etc. Random walks generated by sums of independent identically distributed random variables are well studied, see e.g. classical textbooks by W. Feller (1971), V.V. Petrov (1975), or F. Spitzer (1964); for the recent development of the theory of random walks we refer to A.A. Borovkov and K.A. Borovkov (2008). There are many monographs devoted to various applications where random walks play a crucial role, let us just mention books on ruin and queueing processes by S. Asmussen (2000, 2003); on insurance and finance by P. Embrechts, C. Kluppelberg, and T. Mikosch (1997), and T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, and J. Teugels (1998); and on stochastic difference equations by D. Buraczewski, E. Damek and T. Mikosch (2016). In the same applied stochastic models, if one allows the process considered to be dependent on the current state of the process, we often get a Markov chain which has asymptotically zero drift, we demonstrate that in the last chapter, where we particularly discuss branching and risk processes, stochastic difference equations and ALOHA network.

研究の動機と目的

• 漸近的にゼロのドリフトを示すマルコフ連鎖の解析において、古典的リャプノフ関数法の限界を克服し、不変測度および再帰時間の正確な尾漸近を導出すること。
• 調和関数に近い性質を保ちつつ、良好な解析的性質を有する上調和関数に基づくドーブのh変換を用いた新たな解析的枠組みを構築すること。
• ドリフトとジャンプの2次モーメントの比からテスト関数を体系的に構築する方法を確立し、新しい測度下での質量損失と確率的有界性を制御すること。
• 特に無限遠においてドリフトが消える臨界的領域において、マルコフ連鎖が非再帰的、再帰的、正再帰的であるかを分類するための改善された基準を確立すること。
• 分岐過程、リスク過程、ALOHAネットワークなどの具体的なモデルにこの枠組みを適用し、軽いジャンプ分布から生じる重い尾を持つ定常分布に関する新規結果を導出すること。

提案手法

• 調和関数の代わりに上調和関数を用いる修正されたドーブh変換を採用し、質量損失を制御しながらも、新しい測度下でのジャンプの確率的有界性を維持する。
• ドリフトとジャンプの2次モーメントの比からテスト関数を構築し、変換された遷移核が無限遠でほぼ確率的であることを保証するとともに、漸近的解析に適する。
• Cramérの測度変更アプローチを用いて再帰時間および不変測度の尾の挙動を研究し、無限遠で発散する可能性のある関数の代わりに、チェーンの関数の汎関数を排除する。
• 新しい測度を用いて極限定理を導出し、非再帰的連鎖では正規分布およびガンマ分布への弱収束を示し、再生測度の解析も行う。
• 第8章および第9章では、同一のコア変換フレームワークに基づき、べき則型およびワイブル型尾漸近のための特殊な技術を開発する。
• 同じ手法がリャプノフ関数の構築にも再利用可能であることを示し、再帰分類と尾漸近の解析を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが漸近的にゼロとなるマルコフ連鎖の不変測度の正確な尾漸近を、ジャンプが軽い尾を持つ場合にどう導出できるか。
• RQ2 古典的関数が変換過程で無限大に発散する場合に、リャプノフ関数法の適切な一般化は何か。
• RQ3 性質が不明な調和関数の代わりに、上調和関数に基づくドーブh変換が、安定的かつ解析的に取り扱いやすい代替手段として機能するか。
• RQ4 ジャンプのドリフトと2次モーメントの比を、再帰分類のための効果的テスト関数の構築の根拠としてどれほど活用できるか。
• RQ5 非再帰的領域において、帰還確率および再生測度の漸近的挙動は、ドリフトの減衰速度にどの程度依存するか。

主な発見

• 上調和関数を用いた提案されたCramér–Doob h変換アプローチにより、質量損失の正確な制御とジャンプの確率的有界性の維持が可能となり、古典的マルティンゲール手法におけるチェーンの関数の限界を克服した。
• 特にドリフトが無限遠でゼロに近づく臨界的領域において、非再帰性、再帰性、正再帰性に関する改善された基準が得られた。
• 非再帰的マルコフ連鎖に対しては、適切に正規化された二乗過程がガンマ分布に弱収束することを確立し、ランベールの元来の結果を新たな解析的基盤で拡張した。
• ドリフトが漸近的にゼロとなるマルコフ連鎖の不変測度が、ジャンプ分布が有界であっても重い尾を持つことが示された。これは、軽い入力が重い出力を生み出す可能性を示している。
• べき則型およびワイブル型尾の正確な漸近を体系的に導出可能であり、広範なモデルクラスに適用可能な一貫した技術を提供した。
• 分岐過程、リスク過程、ALOHAネットワークなどの実世界のモデルにこの手法を適用し、定常分布の挙動およびシステム安定性に関する新規結果を導出した。