[論文レビュー] Atiyah classes of Lie bialgebras

Wei Hong|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Advanced Topics in Algebra被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$π$ と $π^*$ のリー代数構造を用いて、リー双代数のアティヤ類および最初のスカラー・アティヤ類の新しい記述を提示する。アティヤ類が、随伴作用によって誘導される写像の核に属するコhomology類 $[γ]$ に含まれる場合にかつその場合に限り消えることを証明し、$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ に対して $\mathfrak{g}=sb(n,\mathbb{C})$ のとき、アティヤ類は消えないことが示され、$\mathfrak{g}=su(n)$ の場合とは対照的である。

ABSTRACT

The Atiyah class was originally introduced by M.F. Atiyah. It has many developments in recent years. One important case is the Atiyah classes of Lie algebra pairs. In this paper, we study the Atiyah class of the Lie algebra pair associated with a Lie bialgebra $(g,g^*)$. A simple description of the Atiyah class and the first scalar Atiyah class is given by the Lie algebra structures on $g$ and $g^*$. As its application, the Atiyah classes for some special cases are investigated.

研究の動機と目的

• リー双代数のアティヤ類および最初のスカラー・アティヤ類の単純な代数的記述を、基礎となるリー代数構造を用いて提供すること。
• アティヤ類の消える条件を、コhomology的データおよび随伴作用によって誘導される写像 $F_*$ を用いて調べること。
• 特に $\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ に対して、マンイン三重対構造を用いて、アティヤ類が消えるかどうかを特定する具体例を分析すること。
• 最初のスカラー・アティヤ類 $c_1(E)$ が消える幾何的および代数的条件を明確にし、特定の元 $v \in \mathfrak{g}$ の存在と関連付けること。

提案手法

• リー対 $(L = \mathfrak{g} \bowtie \mathfrak{g}^*, A = \mathfrak{g}, E = \mathfrak{g}^*)$ のためのアティヤ類 $\alpha_E$ を、$A$-作用を拡張する $L$-接続の曲率を用いて定義する。
• 写像 $F: \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$ を $F(x \otimes y) = x \otimes (-\text{ad}^*_{y})$ で定義し、これをコhomology上に誘導される写像 $F_*$ を導入する。
• 写像 $\lambda \in \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$ を $\lambda(x, \xi) = \text{ad}^*_{\text{ad}^*_\xi(x)}$ で定義し、$\lambda = -F \circ \gamma$ を示す。
• コhomology類 $[\lambda] = -F_*[\gamma]$ を用いて、アティヤ類 $\alpha_E = [\lambda]$ を特徴付ける。
• モジュラー・ベクトル $\kappa \in \mathfrak{g}^*$ を $\kappa(x) = \text{tr}(\text{ad}_x)$ で定義し、$\imath_\kappa \gamma$ を用いて最初のスカラー・アティヤ類を表現する。
• 公式 $c_1(E) = -\frac{\sqrt{-1}}{2\pi} [\imath_\kappa \gamma]$ を適用し、$\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$ を満たす $v \in \mathfrak{g}$ が存在する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー双代数 $(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^*)$ に関連するアティヤ類 $\alpha_E$ が何時消えるか？
• RQ2 最初のスカラー・アティヤ類 $c_1(E)$ の明確な代数的表現は、リー双代数のコサイクル $\gamma$ およびモジュラー・ベクトル $\kappa$ を用いてどのように与えられるか？
• RQ3 マンイン三重対 $(\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{su}(n), \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C}))$ に対して、アティヤ類は消えるか？
• RQ4 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$ の場合に、$\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$ を満たすリー代数の元 $v \in \mathfrak{g}$ が存在するか？
• RQ5 $\kappa + v$ のジョルダン分解は何か？ そして、アティヤ類の消える条件にどのように影響するか？

主な発見

• アティヤ類 $\alpha_E$ が消えるのは、コhomology類 $[\gamma]$ が写像 $F: \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \otimes \text{End}(\mathfrak{g}^*)$ によって誘導される写像 $F_*$ の核に含まれるとき、かつその場合に限る。
• 最初のスカラー・アティヤ類は $c_1(E) = -\frac{\sqrt{-1}}{2\pi} [\imath_\kappa \gamma]$ で与えられ、ここで $\imath_\kappa \gamma$ はモジュラー・ベクトル $\kappa$ とコサイクル $\gamma$ の縮約である。
• リー双代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$, $\mathfrak{g}^* = \mathfrak{su}(n)$ の場合、モジュラー・ベクトル $\kappa$ は非ゼロであり、$\sqrt{-1}\mathfrak{t}$、つまり対角行列の複素化に属する。
• 三重対 $(L = \mathfrak{sl}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C}), \mathfrak{g}^* = \mathfrak{su}(n))$ に対して、アティヤ類 $\alpha_E$ は消えない。これは、$\text{ad}_{\kappa + v} = 0$ と仮定すると $\kappa = 0$ が導かれ、これは補題3.11に反するため、背理法によって示される。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$ の場合、最初のスカラー・アティヤ類 $c_1(E)$ は消えない。なぜなら、$\kappa \in \sqrt{-1}\mathfrak{t}$ であり、$\text{ad}_\kappa^*$ は半単純であるのに対し、$v \in \mathfrak{n}_+$ ならば $\text{ad}_v$ は冪零になるため、$\text{ad}_\kappa^* = \text{ad}_v$ を満たす $v \in \mathfrak{g}$ は存在しない。
• 一方、$\mathfrak{g} = \mathfrak{su}(n)$ の場合には、例3.9で示されるようにアティヤ類は消える。これは、$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ の二つの双対な実形式 $\mathfrak{sb}(n,\mathbb{C})$ と $\mathfrak{su}(n)$ の間で、アティヤ類の挙動に根本的な非対称性があることを示している。