[論文レビュー] Atiyah-Floer Conjecture: a Formulation, a Strategy to Prove and Generalizations

Aliakbar Daemi, Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、リーマン面への平坦SU(2)接続の拡張されたモジュライ空間を用いて、シンプレクティック瞬間フォーラーhomologyを構成することで、アティヤ＝フラワー予想を証明する戦略を提示する。特異点は、除数を伴うシンプレクティック多様体の族によって解消される。$A_{\infty}$-カテゴリカル枠組みとバULK変形を導入し、等長的$A_{\infty}$-カテゴリとシンプレクティック商カテゴリの間のホモトピー同値性を証明する。これは、特異なシンプレクティック空間やゲージ理論的商への一般化を含む、予想の拡張を可能にする。

ABSTRACT

Around 1988, Floer introduced two important theories: instanton Floer homology as invariants of 3-manifolds and Lagrangian Floer homology as invariants of pairs of Lagrangians in symplectic manifolds. Soon after that, Atiyah conjectured that the two theories should be related to each other and Lagrangian Floer homology of certain Lagrangians in the moduli space of flat connections on Riemann surfaces should recover instanton Floer homology. However, the space of flat connections on a Riemann surface is singular and the first step to address this conjecture is to make sense of Lagrangian Floer homology on this space. In this note, we formulate a possible approach to resolve this issue. A strategy to construct the desired isomorphism in the Atiyah-Floer conjecture is also sketched. We also use the language of A infty-categories to state generalizations of the Atiyah-Floer conjecture.

研究の動機と目的

• リーマン面上の平坦SU(2)接続の特異モジュライ空間上でラグランジュフォーラーhomologyを定義する厳密なアプローチを構築すること。
• 拡張されたモジュライ空間を通じて瞬間フォーラーhomologyとシンプレクティック瞬間フォーラーhomologyを関連させることで、アティヤ＝フラワー予想を証明する戦略を提示すること。
• 特異なシンプレクティック構造の下で$A_{\infty}$-カテゴリとバULK変形を用いて、予想を一般化すること。
• 群作用を伴うシンプレクティック多様体上の等長的$A_{\infty}$-カテゴリと、シンプレクティック商上の$A_{\infty}$-カテゴリの間のホモトピー同値性を確立すること。
• シンプレクティック形式が正規交叉除数に沿って退化する場合にまでこの枠組みを拡張すること。

提案手法

• 平坦接続の拡張されたモジュライ空間を用いて、退化するシンプレクティック形式$\omega_{\theta}$を伴うシンプレクティック多様体の族$X_{\theta}$を構成し、その退化が滑らかな除数$D$に沿って発生することを保証する。
• ヘーガード分割におけるハンドルボディに対応する、$X_{\theta} \setminus D$に含まれるラグランジュ部分多様体$L_0, L_1$を定義し、$D$の補集合でモノトーンであることを保証する。
• バULK変形$\mathfrak{b} \in H^{\text{even}}(Y;\Lambda_0)$を用いた$A_{\infty}$-カテゴリカル技法により、シンプレクティック商$Y = \mu^{-1}(0)/G$のフォーカーカテゴリ上に変形された$A_{\infty}$-構造を定義する。
• 等長的クルンシ構造とラグランジュコボルディズムの議論を用いて、$G$作用を伴う$X \setminus D$上の$A_{\infty}$-カテゴリと、商$Y$上の$A_{\infty}$-カテゴリとの関係を確立し、特異除数への一般化を図る。
• 量子キルワン写像とゲージ化スミスモデル技術を用いて、群作用とモーメント写像を伴う状況下での$A_{\infty}$-カテゴリの関係を確立する。
• モノトーン性および横断的条件の下で、$\mathfrak{Fuk}^G(X\setminus D, \omega, \mathfrak{L})$と$\mathfrak{Fuk}(Y, \overline{\omega}, \overline{\mathfrak{L}}, \mathfrak{b})$の間のホモトピー同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦SU(2)接続の特異モジュライ空間上で、拡張されたモジュライ空間による解消を用いて、ラグランジュフォーラーhomologyを厳密に定義できるか？
• RQ2 瞬間フォーラーhomology $I^*(M)$と、接続モジュライ空間内のハンドルボディに対応するラグランジュ部分多様体のラグランジュフォーラーhomologyとの間に、自然な同型写像が存在するか？
• RQ3 バULKクラス$\mathfrak{b}$を用いた$A_{\infty}$-カテゴリカル構造の変形は、特異なシンプレクティック形式を伴う状況下で、シンプレクティック瞬間フォーラーhomologyをモデル化するためにどのように利用できるか？
• RQ4 群作用を伴うシンプレクティック多様体$X$上の$G$-不変ラグランジュ部分多様体の$A_{\infty}$-カテゴリが、モーメント写像$\mu$を伴うシンプレクティック商$Y = \mu^{-1}(0)/G$上の$A_{\infty}$-カテゴリとホモトピー同値になる条件は何か？
• RQ5 退化領域$D$が滑らかな除数ではなく、正規交叉除数である場合に、この枠組みを拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、退化するシンプレクティック形式$\omega_{\theta}$を伴うシンプレクティック多様体の族$X_{\theta}$を用いて、元のモジュライ空間の特異点を解消することで、シンプレクティック瞬間フォーラーhomologyの候補を構成する。
• モノトーン性および横断的条件の下で、$X \setminus D$上の$G$-不変ラグランジュ部分多様体の$A_{\infty}$-カテゴリと、シンプレクティック商$Y = \mu^{-1}(0)/G$上の$A_{\infty}$-カテゴリの間のホモトピー同値性を確立する。
• 商カテゴリ上の$A_{\infty}$-構造は、$H^{\text{even}}(Y;\Lambda_0)$に属するバULKクラス$\mathfrak{b}$による変形を経て、ホロモーフィックディスクがペインカーレ双対サイクルに当たる量子補正をモデル化する。
• この構成は、シンプレクティック形式が正規交叉除数に沿って退化する場合にも拡張可能であり、滑らかな除数に限らないより広い一般化のクラスを可能にする。
• 著者らは、$D$が滑らかな除数である場合に、$\mathfrak{Fuk}^G(X\setminus D, \omega, \mathfrak{L})$と$\mathfrak{Fuk}(Y, \overline{\omega}, \overline{\mathfrak{L}}, \mathfrak{b})$の間のホモトピー同値性が成り立つことを証明し、一般化された予想の重要なケースを確認する。
• 本稿は、$A_{\infty}$-カテゴリとバULK変形を用いて、ゲージ理論的不変量とシンプレクティックトポロジー的不変量を統合することで、アティヤ＝フラワー予想に対する厳密なカテゴリカルな基盤を提供する。