[論文レビュー] Atkin and Swinnerton-Dyer congruences and noncongruence modular forms

Wen-Ching Winnie Li, Линг Лонг|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 54被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非合同型モジュラー形式におけるアトキンとスウィンナートン＝ダイヤー（ASD）合同式——ヘッケ関係のp進類似——を調査し、ガロア表現および形式的群の法則と関連づける。有理数に値をとるフーリエ係数に有界な分母があると合同型モジュラー形式になることを証明し、非合同型の場合におけるASD合同式の証拠を提示する。特に、p=5における重さ1の非合同型形式について、予想される超合同式を含む。

ABSTRACT

Atkin and Swinnerton-Dyer congruences are special congruence recursions satisfied by coefficients of noncongruence modular forms. These are in some sense $p$-adic analogues of Hecke recursion satisfied by classic Hecke eigenforms. They actually appeared in different context and sometimes can be obtained using the theory of formal groups. In this survey paper, we introduce the Atkin and Swinnerton-Dyer congruences, and discuss some recent progress on this topic.

研究の動機と目的

• 非合同型モジュラー形式のフーリエ係数の算術的性質を、アトキンとスウィンナートン＝ダイヤー（ASD）合同式を用いて調査すること。
• ASD合同式とガロア表現および形式的群の理論との間の関係を確立すること。
• 有理数に値をとるフーリエ係数と有界な分母を持つモジュラー形式は、必ず合同型形式であることを証明すること。
• 非合同型の場合におけるASD型合同式の妥当性を検討し、予想される超合同式を含む。
• アトキンのU_p作用素とそのp進モジュラー形式、特にj不変量および関連するモジュラー関数における役割を調べること。

提案手法

• 非合同型尖点形式に付随するℓ進ガロア表現を用いて、S_k(Γ)に属する形式のASD型合同式を導出する。
• シュォルの定理を適用し、d個の異なるp進単位固有値を持つ素数pに対して、S_k(Γ)の基底がASD合同式を満たすことを示す。
• 形式的群の法則を用いて、k=2の場合にモジュラスp^{1+ord_p n}のASD型合同式を導出し、ドゥックのp進超幾何級数と関連づける。
• 幾何的フロベニウスの特性多項式を用いて、S_k(Γ)における(2d+1)項の関係にASD合同式を一般化する。
• ディリクレ指標によるねじれを適用し、非合同型形式と合同型ヘッケ固有形式を比較することで、スカラー倍の違いを除いて一致することを導く。
• 計算ツール（Sage）を用いて、例えばp=5における重さ1の非合同型形式fについて、t_m(f,5n) ≡ t_m(f,n) mod 5^{2m+4}のような予想される超合同式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非合同型モジュラー形式がアトキンとスウィンナートン＝ダイヤー合同式を満たす条件は何か？
• RQ2 ASD合同式は、より弱いモジュラスを持つ弱正則モジュラー形式へと拡張可能か？
• RQ3 ASD合同式は、その背後にあるガロア表現構造をどの程度反映しているか？
• RQ4 U_p作用素は、p進モジュラー形式および超合同式を生成するために果たす役割は何か？
• RQ5 有界な分母を持つ非合同型モジュラー形式は、必然的に合同部分群から生じるのか？

主な発見

• 有理数に値をとるフーリエ係数と有界な分母を持つモジュラー形式は、ねじれを介したヘッケ固有形式との比較により、合同型尖点形式でなければならないことが示された。
• フロベニウス作用のd個の異なるp進単位固有値を持つ素数pに対して、S_k(Γ)の基底は、モジュラスp^{(k-1)(1+ord_p n)}の3項ASD合同式を満たす。
• フロベニウスの特性多項式を用いることで、ASD合同式は、すべてのn ≥ 1に対して有効な(2d+1)項の関係に一般化される。
• カザリツキとシュォルは、ASD合同式をモジュラスp^{(k-1)ord_p n}に弱めた形で、弱正則形式へと拡張した。
• 重さ1の非合同型形式f = √(f₁f₂)について、p=5における予想される超合同式は、奇数nおよびm ≥ 1に対してt_m(f,5n) ≡ t_m(f,n) mod 5^{2m+4}を示唆する。
• アトキンのj不変量の係数が13^mで合同であるという予想は、コイケとカツによって13進ヘッケ固有形式を用いて証明され、U_p作用素とp進モジュラー形式との間の深い関係が確認された。