[論文レビュー] Attached primes of the top local cohomology modules with respect to an ideal (II)

Mohammad T. Dibaei, Siamak Yassemi|ArXiv.org|Jan 5, 2005

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ネーター局域環 $ (R, \frak m) $ 上の有限生成 $ R $-加群 $ M $ に対する上位局所コホモロジー加群 $ \rm H_{\frak a}^n(M) $ の構造を調査する。非同型な上位局所コホモロジー加群の数が有限であることを示し、簡約された準二次的表現を提供するとともに、すべての $ \frak p \in \rm Supp(M) $ に対して $ \rm H_{\frak a}^r(R/\frak p) = 0 $ ならば、すべての $ i \geq r $ に対して $ \rm H_{\frak a}^i(M) = 0 $ が成り立つことを証明し、ハーツホーンの消滅定理を一般化する。

ABSTRACT

For a finitely generated module $M$, over a commutative Noetherian local ring $(R, \mathfrak{m})$, it is shown that there exist only a finite number of non--isomorphic top local cohomology modules $\mathrm{H}_{\mathfrak{a}}^{\mathrm{dim} (M)}(M)$, for all ideals $\mathfrak{a}$ of $R$. We present a reduced secondary representation for the top local cohomology modules with respect to an ideal. It is also shown that for a given integer $r\geq 0$, if $\mathrm{H}_{\mathfrak{a}}^{r}(R/\mathfrak {p})$ is zero for all $\mathfrak{p}$ in $\mathrm{Supp}(M)$, then $\mathrm{H}_{\mathfrak{a}}^{i}(M)= 0$ for all $i\geq r$.

研究の動機と目的

• ネーター局域環におけるすべてのイデアル $ \frak a $ に対して、非同型な上位局所コホモロジー加群 $ \rm H_{\frak a}^n(M) $ の有限性を特定すること。
• 加群 $ \rm H_{\frak a}^n(M) $ の簡約された準二次的表現を提供し、その構造を簡略化すること。
• すべての $ i \geq r $ に対して $ \rm H_{\frak a}^i(M) = 0 $ となる条件を、$ \frak p \in \rm Supp(M) $ に対する $ R/\frak p $ 上の局所コホモロジーの消滅に基づいて特徴づけることで、ハーツホーンの消滅定理を一般化すること。
• コホモロジー的次元が最大である局所コホモロジー加群 $ \rm H_{\frak a}^{\rm cd(\frak a,M)}(M) $ の付随素数の部分集合を特定すること、特に $ \rm cd(\frak a,M) = \dim(M) $ の場合に注目する。

提案手法

• $ R $ が完全である場合、$ \rm H_{\frak a}^n(M) \cong \rm H_{\frak m}^n(K) $ を満たす $ M $ の準同型像 $ K $ が存在することを証明し、上位局所コホモロジーを最大イデアルに関連付ける。
• $ \frak a \subseteq \frak b $ ならば、$ \rm H_{\frak b}^n(M) \to \rm H_{\frak a}^n(M) $ が全射であることを確立し、コホモロジー的サポートにおける逆包含関係を示す。
• $ \rm Att(\rm H_{\frak a}^n(M)) = \{ \frak p \in \rm Supp(M) \mid \rm cd(\frak a, R/\frak p) = n \} $ であるという基礎的特徴づけを用いる。
• 帰納法と $ R/\frak p $ および $ R/(\frak p + xR) $ を含む完全列を用いて、$ \rm H_{\frak a}^r(R/\frak p) = 0 $ ならば $ \rm H_{\frak a}^{r+1}(R/\frak p) = 0 $ が成り立つことを示し、消滅性をより高い次元に拡張する。
• $ \rm Ass(M/N) = \{ \frak p \in \rm Ass(M) \mid \dim(R/\frak p) = \rm cd(\frak a,M) \} $ を満たす部分加群 $ N \subseteq M $ を構成し、アーティン加群の場合に還元可能にする。
• 既知の結果である $ \rm H_{\frak a}^{\dim(N)}(N) $ がアーティン加群であり、その付随素数が $ \{ \frak p \in \rm Ass(N) \mid \rm cd(\frak a, R/\frak p) = \dim(N) \} $ に一致することを活用し、重要な素数集合を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ M $ に対して、変化するイデアル $ \frak a $ に対して非同型な上位局所コホモロジー加群 $ \rm H_{\frak a}^n(M) $ がいくつ存在しうるか？
• RQ2 $ \frak a \subseteq \frak b $ ならば、$ \rm H_{\frak b}^n(M) \to \rm H_{\frak a}^n(M) $ が全射であることを示し、コホモロジー的サポートにおける逆包含関係を示す。
• RQ3 $ \rm H_{\frak a}^i(M) = 0 $ がすべての $ i \geq r $ に対して成り立つ条件は何か？ これは $ \frak p \in \rm Supp(M) $ に対する $ R/\frak p $ 上の局所コホモロジーの消滅性によってどのように特徴づけられるか？
• RQ4 コホモロジー的次元が最大である局所コホモロジー加群 $ \rm H_{\frak a}^{\rm cd(\frak a,M)}(M) $ の正確な付随素数集合は何か？ また、$ \rm cd(\frak a,M) = \dim(M) $ のとき、この集合が $ \{ \frak p \in \rm Ass(M) \mid \rm cd(\frak a, R/\frak p) = \dim(R/\frak p) = \rm cd(\frak a,M) \} $ と一致する条件は何か？
• RQ5 加群 $ \rm H_{\frak a}^n(M) $ の簡約された準二次的表現を明示的に構成できるか？ また、これによりその構造にどのような情報を得られるか？
• RQ6 入れ子になったイデアルに対して、上位局所コホモロジー加群間に自然な全射が存在するか？ これはそれらの同型類にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 非同型な上位局所コホモロジー加群 $ \rm H_{\frak a}^n(M) $ の数は有限であり、$ 2^{\vert \rm Assh(M) \vert} $ で上から抑えられる。同型性は付随素数集合によって決定されるため。
• 加群 $ K $ が $ M $ の準同型像であり、$ \rm H_{\frak a}^n(M) \cong \rm H_{\frak a}^n(K) $、$ \dim(K) = n $、$ \rm Ass(K) = \{ \frak p \in \rm Ass(M) \mid \rm cd(\frak a, R/\frak p) = n \} $ を満たすものが存在する。これは最小モデルを提供する。
• $ \frak a \subseteq \frak b $ ならば、$ \rm H_{\frak b}^n(M) \to \rm H_{\frak a}^n(M) $ が全射である。これはコホモロジー的サポートにおける逆包含関係を示す。
• もし $ \rm Att(\rm H_{\frak a}^n(M)) = \rm Att(\rm H_{\frak b}^n(M)) $ ならば、$ \rm H_{\frak a}^n(M) \cong \rm H_{\frak b}^n(M) $ である。つまり、同型性は付随素数集合によって完全に決定される。
• $ \rm cd(\frak a, M) < r $ であることと、すべての $ \frak p \in \rm Supp(M) $ に対して $ \rm H_{\frak a}^r(R/\frak p) = 0 $ であることは同値である。これはハーツホーンの消滅基準を一般化する。
• $ \{ \frak p \in \rm Ass(M) \mid \rm cd(\frak a, R/\frak p) = \dim(R/\frak p) = \rm cd(\frak a,M) \} $ は $ \rm Att(\rm H_{\frak a}^{\rm cd(\frak a,M)}(M)) $ に含まれる。特に $ \rm cd(\frak a,M) = \dim(M) $ のとき、等号が成り立つ。