[論文レビュー] Attempts to define a Baum--Connes map via localization of categories for inverse semigroups

Bernhard Burgstaller|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、三角化カテゴリの手法と局所化を用いて、Meyer-Nestのアプローチを群から単位的で可算な逆半群へ一般化することを試みている。ボット周期性、誘導関手、および新しい$L^2(G)$-空間モデルといった重要な道具を確立しているが、誘導と制限関手の双対性に深刻な欠陥が存在し、ディラック元の存在——そしてしたがってバーム＝コンヌ写像全体の存在——は、誘導関手の正しい右随伴関手に関する未検証の仮定に依存する条件的なものである。

ABSTRACT

Meyer and Nest showed that the Baum--Connes map is equivalent to a map on $K$-theory of two different crossed products. This approach is strongly categorial in method since its bases is to regard Kasparov's theory $KK^G$ as a triangulated category. We have tried to translate this approach to the realm of inverse semigroup equivariant $C^*$-algebras but can prove the existence of a Baum--Connes map only under some unverified additional assumptions which we however strongly motivate. Some of our results may be of independent interest, for example Bott periodicity, the definition of induction functors, the definition of a completely novel compatible $L^2(G)$-space, a Cuntz picture of $KK^G$, and the verification that $KK^G$ is a triangulated category.

研究の動機と目的

• 群から単位的で可算な逆半群へMeyer-Nestフレームワークをカテゴリカルな手法を用いて拡張すること。
• 局所化を用いて、群の場合と同様に、逆半群の$KK^G$-理論においてディラック元を定義すること。
• 逆半群$C^*$-代数の文脈で、$E$-連続性条件の下で$\ell^2(G)$と整合する$C^*$-代数的モデルを構成すること。
• 逆半群の$KK^G$が三角化カテゴリであることを、Cuntzの写像像の観点から証明すること。
• 有限部分逆半群に対して誘導および制限関手を定義し、それらの随伴関係を分析すること。

提案手法

• Meyer-Nest戦略を適応し、バーム＝コンヌ写像を$KK^G$におけるディラック写像の降下によって誘導される$K$-理論写像としてモデル化する。
• KK^G-写像を$*$-準同型として表すCuntzの像を用いて、$KK^G$を三角化カテゴリとして確立する。
• $E$-連続性条件下で、ディラック元の構成を支援する新しい$L^2(G)$-空間モデルを導入する。
• 三角化カテゴリにおけるBrownの代表性定理を適用し、$KK^G(P, \mathbb{C})$に候補となるディラック元を構成する。
• ${\mathcal{C}}{\mathcal{J}}$-単体的近似構成を用いて、$KK^H$-群上で同型性を持つ候補写像$D$を構築する。
• 古典的な制限関手の代わりに、Neemanの理論的結果に基づき、誘導関手の正しい右随伴関手に置き換える。未検証の仮定の下でその性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角化カテゴリの技法を用いて、Meyer-Nestのバーム＝コンヌ予想へのアプローチを群から逆半群へ一般化できるか？
• RQ2 適切な仮定の下で${\mathcal{C}}{\mathcal{J}}$-単体的近似が成り立つとき、逆半群の$KK^G$におけるディラック元の存在は保証されるか？
• RQ3 有限部分逆半群$H \subseteq G$に対して、誘導関手$\mathrm{Ind}_H^G$の正しい右随伴関手は何か？
• RQ4 逆半群$C^*$-代数の文脈で、$KK^G$-理論を支援するために、整合性のある$L^2(G)$-空間をどのように構成できるか？
• RQ5 古典的な恒等式$KK^G(\mathrm{Ind}_H^G A, B) \cong KK^H(A, \mathrm{Res}_G^H B)$は、逆半群の文脈でも成立するか？

主な発見

• 単位的で可算な逆半群$G$に対して、$KK^G$が三角化カテゴリであることが示された。写像のCuntzの像を用いて証明された。
• ボット周期性が逆半群の文脈における$KK^G$-理論で確認された。
• $E$-連続性条件下で、$KK^G$-カテゴリ構造に不可欠な新しい$L^2(G)$-空間モデルが構成された。
• 有限部分逆半群$H \subseteq G$に対して、誘導関手$\mathrm{Ind}_H^G: KK^H \to KK^G$が定義され、Neemanの結果に基づき理論的対象としてその右随伴が特定された。
• 正しい右随伴関手に関する未検証の仮定の下で、$KK^G(P, \mathbb{C})$に候補となるディラック写像$D$が構成された。これによりバーム＝コンヌ写像の存在が示唆される。
• 古典的な双対性$KK^G(\mathrm{Ind}_H^G A, B) \cong KK^H(A, \mathrm{Res}_G^H B)$は逆半群の文脈では成立せず、制限関手は正しい右随伴関手ではない。