[論文レビュー] Attractor and synchronization for a complex network of reaction-diffusion systems of FitzHugh-Nagumo type

Benjamin Ambrosio, M. A. Aziz-Alaoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、部分拡散を伴う $n$ 個のFitzHugh-Nagumo型反応拡散系の複雑なネットワークに対して、グローバルアトラクターの存在を確立し、$L^{∞}$-バウンドを提示する。部分拡散を持つネットワークにおいて、一般のネットワークトポロジーに対して同一の同期を保証する閾値結合強度が存在することを証明し、ネットワークサイズおよび構造に依存する最小結合強度との関係を示すヒューリスティック法則を導出し、らせん状および均一なパターンを用いた数値的検証が行われる。

ABSTRACT

We focus on the long time behavior of complex networks of reaction-diffusion (RD) systems. We prove the existence of the global attractor and a $L^{\infty}$-bound for a network of $n$ RD systems with $d$ variables each. This allows us to prove the identical synchronization for general class of networks and establish the existence of a coupling strength threshold value that ensures such a synchronization. Then, we apply these results to some particular networks with different structures (i.e. different topologies) and perform numerical simulations. We found out theoretical and numerical heuristic laws for the minimal strengh coupling needed for synchronization relatively to the number of nodes and the network topology, and discuss the link between spatial dimension and synchronization.

研究の動機と目的

• 部分拡散を伴うFitzHugh-Nagumo型反応拡散系の複雑ネットワークの長期的挙動を解析すること。
• 同期挙動が解析されるグローバルアトラクターの存在を確立すること。
• 一般のネットワークトポロジーに対して同一の同期を保証する理論的結合強度の閾値を特定すること。
• ネットワークサイズおよびトポロジーに基づいて、同期に必要な最小結合強度のヒューリスティック法則を導出すること。
• このようなネットワークにおける同期およびパターン形成に及ぼす空間的要因を数値的に調査すること。

提案手法

• ノードを $d$ 次元の反応拡散系、エッジを結合関数として持つグラフとしてネットワークをモデル化する。
• 拡散成分（$s$ 変数）と非拡散成分（$d-s$ 変数）に分割された系を分析し、拡散および結合が最初の $s$ 成分に限定される。
• エネルギー推定とGronwall型不等式を用いて、解の $L^2$ および $H^1$ バウンドを導出し、前コンパクト性を保証する。
• 一般化されたGronwall補題（定理4および系3）を適用して、解ノルムの成長を制御し、一様バウンドを確立する。
• ノイマン境界条件とさまざまな初期条件を用いた数値シミュレーションを実施し、同期およびパターン形成を調査する。
• 数値データを多項式関数にフィッティングして、ネットワークサイズ $n$ の関数としての最小結合強度のヒューリスティック法則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分拡散を伴う $n$ 個の結合FitzHugh-Nagumo型反応拡散系のネットワークに対して、グローバルアトラクターが存在するか？
• RQ2 任意のネットワークトポロジーに対して同一の同期を保証する結合強度の閾値は何か？
• RQ3 同期に必要な最小結合強度は、ネットワークのノード数にどのように依存するか？
• RQ4 ネットワークトポロジーや空間次元は、同期およびパターン形成にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 解ノルムの理論的バウンドを用いて、このような系における同期およびアトラクターの存在を証明できるか？

主な発見

• すべての軌道が収束する $\mathscr{H} = (L^2(\Omega))^{nd}$ 内にグローバルアトラクターが存在する。
• ネットワーク全体に対する $L^\infty$-バウンドが確立され、同期および一様有界性の証明に不可欠である。
• 一般のネットワークトポロジーに対して、同一の同期を保証する理論的閾値結合強度が存在する。
• 数値的シミュレーションにより、完全に線形に接続された3ノードネットワークにおいて、結合強度 $g_3 \geq 0.02$ のとき同期が発生することが示された。
• リング接続ネットワークにおけるノード数 $n$ の変動（$n$ が3から20の範囲で）を想定し、最小結合強度を予測するヒューリスティック法則 $g_n = 0.0000167n^2 + 0.00062n + 0.02$ が導出された。
• 初期条件に依存せず、らせん波を含む漸近的空間パターンが同期ネットワークに持続的に存在し、強固なパターン形成が示された。