[論文レビュー] Attractor Bifurcation and Final Patterns of the N-Dimensional and Generalized Swift-Hohenberg Equations

Masoud Yari|ArXiv.org|Feb 8, 2008

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、新規の吸引子分岐理論を用いて、さまざまな境界条件下でのn次元および一般化されたSwift-Hohenberg方程式における吸引子分岐と最終パターンを調査する。λが臨界値λ_cを越えると、自明解から次元がm−1からmの間である吸引子𝒜_λに分岐することを証明し、分岐した吸引子の漸近的安定性を確立する。ここでmは(I+Δ)²の第一固有値の重複度である。

ABSTRACT

In this paper I will investigate the bifurcation and asymptotic behavior of solutions of the Swift-Hohenberg equation and the generalized Swift-Hohenberg equation with the Dirichlet boundary condition on a one- dimensional domain $(0,L)$. I will also study the bifurcation and stability of patterns in the n-dimensional Swift-Hohenberg equation with the odd-periodic and periodic boundary conditions. It is shown that each equation bifurcates from the trivial solution to an attractor, when the control parameter crosses the principal eigenvalue of the linearized equation. The local behavior of solutions and their bifurcation to an invariant set near higher eigenvalues are analyzed as well.

研究の動機と目的

• 1次元Swift-Hohenberg方程式におけるディリクレ境界条件および奇周期境界条件の下での解の分岐および漸近的挙動を分析すること。
• 奇周期境界条件および周期境界条件の下でのn次元Swift-Hohenberg方程式における最終パターンの安定性および構造を研究すること。
• λ = λ_cにおける自明解から分岐する吸引子𝒜_λの正確な次元および位相的構造を特定すること。
• 自明解の安定多様体の外部の位相空間における分岐吸引子の漸近的安定性を確立すること。

提案手法

• MaとWangが開発した新しい吸引子分岐理論を応用し、λ = λ_cにおける自明解からの分岐を分析する。
• 臨界パラメータ近傍における非線形相互作用を調べるため、リャプノフ＝シュミット還元を用いて方程式をその中心多様体に還元する。
• エネルギー推定と微分不等式技術を用いて、λ ≤ λ_cにおける自明解のグローバル漸近的安定性を証明する。
• (I+Δ)²の固有値および固有関数を計算し、λ_cおよび第一固有値の重複度mを特定する。
• 中心多様体還元から得られる分岐方程式を分析し、定常解の数および性質を同定する。
• ホモロジーおよびホメオモルフィズムを用いた吸引子𝒜_λの位相的特徴付けを行い、n=2の場合にS^{n−1}にホモトープまたはS¹にホメオモルフィックであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元Swift-Hohenberg方程式において、λがλ_cを越えると、自明解から分岐する吸引子𝒜_λの正確な構造および次元は何か？
• RQ2 n次元の場合に奇周期境界条件および周期境界条件下で吸引子はどのように分岐するのか。その位相的型は何か？
• RQ3 λ > λ_cの場合に、分岐吸引子に含まれる定常解の数および安定性の種別は何か？
• RQ4 吸引子𝒜_λは漸近的にどのように振る舞い、位相空間全体でのグローバル安定性特性は何か？

主な発見

• λ > λ_cの場合、1次元Swift-Hohenberg方程式はディリクレ境界条件または奇周期境界条件下で、正確に2つの定常解に分岐する。
• 1次元における周期境界条件の下では、分岐吸引子𝒜_λはS¹にホメオモルフィックである。
• n次元において奇周期境界条件が課された場合、吸引子𝒜_λは正確に2^n個の正則な定常解を含む。
• n次元空間（n ≤ 3）における周期境界条件の下では、吸引子𝒜_λは定常解からなるトーラス𝕋^nを含む。
• λ_cにおける分岐吸引子𝒜_λの次元は、m−1からmの間であり、ここでmは(I+Δ)²の第一固有値の代数的重複度である。
• 自明解u=0はλ ≤ λ_cにおいてグローバル漸近的安定であり、吸引子𝒜_λはcodimension mの安定多様体の外部のすべての解を吸引する。