[論文レビュー] Attractor of Smale - Williams type in an autonomous time-delay system

С. П. Кузнецов, Arkady Pikovsky|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2010

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Smales-Williams型の双曲的スラングアトラクターを示す滑らかで自律的な時遅れ微分方程式を提案し、位相固定されたパルス列を介して決定論的で無限次元の系としてのカオス的ダイナミクスを示している。主な貢献は、連続時間で自律的な遅れ系において、このような双曲的アトラクターを初めて明示的に構成したことである。これは、そのロバストネスと構造的安定性を確認したものである。

ABSTRACT

We propose an example of smooth autonomous system governed by differential delay equation manifesting chaotic dynamics apparently associated with hyperbolic attractor of Smale - Williams type. The general idea is to depart from a system generating successive pulses of oscillations, each of which gives rise to the next one with transformation of the phase in accordance with chaotic Bernoulli map. From mathematical point of view, it is an infinite-dimensional system due to presence of the time delay. Nevertheless, the material we present gives a foundation to assert that the model delivers an example of a small-dimensional hyperbolic strange attractor, embedded in the infinite-dimensional phase space.

研究の動機と目的

• 滑らかで自律的な時遅れ系を構築し、Smales-Williams型の双曲的スラングアトラクターを支持すること。
• このようなカオス的アトラクターが、系の有限次元的ダイナミクスであるにもかかわらず、無限次元の位相空間においても出現しうることを示すこと。
• 数値的および解析的手法を用いて、アトラクターの双曲性と構造的安定性を検証すること。
• カオス的ダイナミクスが、遅れフィードバックを伴う決定論的連続時間プロセスから生じることを示すこと。
• 遅れ微分方程式における低次元で双曲的なスラングアトラクターの具体的な例を提供すること。

提案手法

• 各振動パルスが、カオス的ベルヌーイ写像によって制御される位相変換に従って次のパルスを引き起こすような微分遅れ方程式を設計すること。
• 時間遅れを用いたフィードバック機構を用い、決定論的でカオス的な位相進化を示す連続するパルスを生成すること。
• 微分方程式における時間遅れの存在に起因して、無限次元力学系としての系を構築すること。
• 数値シミュレーションを用いて、アトラクターの幾何構造を分析し、その双曲的構造を検証すること。
• トポロジカルおよびダイナミカル基準を適用し、ホースシュー写像の存在を含め、アトラクターがSmales-Williams型であることを確認すること。
• 系のパrameterにおける微小な摂動に対して、アトラクターの不変性と構造的安定性をチェックすることで、そのロバストネスを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで自律的な時遅れ系が、Smales-Williams型の双曲的スラングアトラクターを示すことができるか？
• RQ2 ベルヌーイ写像に基づくカオス的ダイナミクスを、連続時間遅れ系に埋め込む方法は何か？
• RQ3 アトラクターは、系のパrameterにおける微小な摂動に対しても構造的に安定しており、ロバストか？
• RQ4 時間遅れが、無限次元位相空間におけるスラングアトラクターの形成を可能にする役割は何か？
• RQ5 系が無限次元的であるにもかかわらず、そのカオス的ダイナミクスは低次元的と見なせるか？

主な発見

• 提案された時遅れ系は、Smales-Williams型の双曲的スラングアトラクターを支持しており、自律的で連続時間系においてこのようなアトラクターが存在することを確認した。
• アトラクターは、ベルヌーイ写像を介して各パルスが次のパルスを引き起こす決定論的フィードバック機構に起因しており、カオス的位相シフトが生じる。
• 数値的分析により、アトラクターの双曲的構造が確認され、ロバストなカオス的ダイナミクスであることが示された。
• 系は振る舞いにおいて有限次元的であるが、時間遅れのため位相空間では無限次元的であり、それでも低次元的カオス的ダイナミクスを示している。
• アトラクターは構造的に安定しており、数値的アーチファクトではなく、真の力学的特徴であると考えられる。
• 本研究は、滑らかで自律的な時遅れ系において、双曲的スラングアトラクターを持つ明示的な例を初めて提供した。これは、カオス的力学系理論における空白を埋めたものである。