[論文レビュー] Attractors and global averaging of non-autonomous reaction-diffusion equations in R^n

Francesca Antoci, Martino Prizzi|ArXiv.org|May 16, 2002

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ℝ^N における非-autonomous反応拡散方程式について、周期的でないがほぼ周期的である係数が急激に振動する場合に、その振動周波数 ω → ∞ のとき、解とグローバルアトラクターが平均化された対応する方程式へ収束することを確立する。過程の均一漸近的 L²-コンパクト性および H¹-コンパクト性を証明し、平均化の下でのアトラクターの上半連続性を保証する。従来の結果を重み付き空間を用いない非有界領域へ拡張する。

ABSTRACT

We consider a family of non-autonomous reaction-diffusion equations with almost periodic, rapidly oscillating principal part and nonlinear interactions. As the frequency of the oscillations tends to infinity, we prove that the solutions of the non-autonomous equations converge to the solutions of the autonomous averaged equation. If the nonlinearity is dissipative, we prove existence of compact attractors and their upper-semicontinuity at infinity.

研究の動機と目的

• 有界領域からのグローバル平均化およびアトラクター収束の結果を非有界領域 ℝ^N へ拡張すること。
• ℝ^N における非コンパクトなソボレフ埋め込みの課題に対処することにより、グローバルアトラクターの存在およびコンパクト性を困難にする要因を解消すること。
• ω→∞ のとき、非-autonomous方程式によって生成される過程の均一漸近的 L²-コンパクト性および H¹-コンパクト性を証明すること。
• 非-autonomous族の Σ-均一アトラクター 𝒜_ω^Σ が平均化された方程式のアトラクター 𝒜 へ上半連続に収束することを確立すること。
• Ilyin のアブストラクトなアトラクター収束結果を、時間に依存する急速な振動を示す主部を持つ ℝ^N 上の反応拡散方程式の設定へ一般化すること。

提案手法

• 重み付きソボレフ空間に依存しない、Wang のアプローチを用いて、過程の均一漸近的 L²-コンパクト性を確立する。
• L²-コンパクト性と H¹ 内の一様有界性から、連続性の議論を適用して H¹-コンパクト性を導出する。
• 時間に依存する線形過程 V_ω(t,s) を、振動する拡散作用素によって生成する変数定数公式（variation-of-constants formula）を用いる。
• ω→∞ のとき、線形過程 V_ω(t,s) が平均化された拡散作用素によって生成される半群 e^{-Āt} へ収束することを証明する。
• 非-autonomous過程の Σ-均一アトラクターの概念を用い、Hausdorff 距離を用いてアトラクターを比較する。
• 部分列と Cantor の対角線手続きを用いた背理法により、アトラクターの極限点が平均化された系のアトラクターに属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ^N における時間に依存する急速な振動を示す係数を有する非-autonomous反応拡散方程式の解は、ω→∞ のとき、対応する平均化された方程式の解へ収束するか？
• RQ2 非-autonomous族のグローバルアトラクターが、H¹(ℝ^N) のノルムにおいて、平均化された方程式のアトラクターへ上半連続に収束するか？
• RQ3 非コンパクトな埋め込み H¹↪L² が生じる非有界領域上での非-autonomous過程について、漸近的コンパクト性をどのように確立できるか？
• RQ4 Chepyzhov と Vishik の非-autonomousアトラクターの抽象的枠組みを、重み付き空間を用いない非有界領域へどの程度まで適応可能か？
• RQ5 平均化された方程式のアトラクターが、ω→∞ のとき、振動系の長期的ダイナミクスをどの程度正確に捉えることができるか？

主な発見

• 非-autonomous方程式 (E_ω) の解は、ω→∞ のとき、H¹(ℝ^N) において平均化された方程式 (E_∞) の解へ収束する。
• 方程式 (E_ω) によって生成される過程は、均一漸近的 L²-コンパクト性を有し、各 ω に対してコンパクトなグローバルアトラクターの存在を保証する。
• 連続性の議論により H¹-コンパクト性が確立され、f の散逸性のもとで (E_ω) のグローバルアトラクターの存在が保証される。
• 非-autonomous族の Σ-均一アトラクター 𝒜_ω^Σ は、ω→∞ のとき、H¹(ℝ^N) 上の Hausdorff 距離において、平均化された半群のアトラクター 𝒜 へ収束する。
• アトラクターの上半連続性が成立する：任意の δ>0 に対して、ある ω̄>0 が存在し、すべての ω≥ω̄ に対して d_H¹(𝒜_ω^Σ,𝒜)<δ が成り立つ。
• 𝒜_ω^Σ からの任意の点列の極限は、H¹(ℝ^N) において 𝒜 の点へ収束する。これにより、平均化されたアトラクターが振動系の長期的ダイナミクスを捉えていることが確認される。