[論文レビュー] Attractors for damped hyperbolic equations on arbitrary unbounded domains

Martino Prizzi, Krzysztof P. Rybakowski|ArXiv.org|Jan 13, 2006

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の非有界領域上での減衰型双曲型方程式に対して、係数や領域境界の滑らかさに関する仮定がなくても、グローバルアトラクターの存在を確立する。重み付きエネルギー空間における尾挙動推定と漸近的コンパクト性を用いて、非線形項の臨界的または亜臨界的成長条件およびポテンシャル項と減衰項の散逸的構造的仮定のもとで、位相空間 $ H^1_0(\bar{\Omega}) \times L^2(\Omega) $ 内にコンパクトなグローバルアトラクターの存在を証明する。

ABSTRACT

We prove existence of global attractors for damped hyperbolic equations of the form $$\aligned \eps u_{tt}+α(x) u_t+β(x)u- \sum_{ij}(a_{ij}(x) u_{x_j})_{x_i}&=f(x,u),\quad x\in Ω, t\in[0,\infty[, u(x,t)&=0,\quad x\in \partial Ω, t\in[,\infty[.\endaligned$$ on an unbounded domain $Ω$, without smoothness assumptions on $β(\cdot)$, $a_{ij}(\cdot)$, $f(\cdot,u)$ and $\partialΩ$, and $f(x,\cdot)$ having critical or subcritical growth.

研究の動機と目的

• 任意の非有界領域上での減衰型双曲型方程式に対して、不規則な係数や境界を含む場合を含めてグローバルアトラクターの存在を確立すること。
• 既存の結果が滑らかな幾何構造と係数に限られている有界領域における理論を、非有界領域へと拡張すること。
• Sobolev埋め込みの意味で臨界的または亜臨界的成長を示す非線形項、特に滑らかでない依存性を示す非線形項に対しても、グローバルアトラクターの存在を扱えるようにすること。
• 非有界領域ではコンパクト埋め込みが成立しないという問題を克服するため、尾挙動推定と重み付き空間におけるエネルギー減衰を用いて半群の漸近的コンパクト性を証明すること。
• ポテンシャル $ \beta(x) $、減衰 $ \alpha(x) $、非線形項 $ f(x,u) $ に対する仮定を緩和し、臨界成長のケースを含めて、従来の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 位相空間 $ Z = H^1_0(\Omega) \times L^2(\Omega) $ において、波動方程式を一次系として定式化し、$ u $ と $ v = u_t $ を状態変数として扱う。
• 解の成長を制御し、散逸性を導出するために、エネルギー項とポテンシャル項を含むリャプノフ型汎関数 $ V^*(z) $ を用いる。
• 特に、標準的なコンパクト性が失敗する非有界領域において、解の空間的減衰に関する尾挙動推定を用いて漸近的コンパクト性を証明する。
• 亜臨界非線形項の場合、尾挙動推定と弱収束の議論を用いて、$ Z $ における漸近的コンパクト性を直接確立する。
• 臨界非線形項の場合、まず $ Y = L^2(\Omega) \times H^{-1}(\Omega) $ において漸近的コンパクト性を証明し、その後、BallとRaugelの手法を用いて $ Z $ に持ち上げる。
• エネルギーの有界な増加と一様吸収性を保証するため、$ f(x,u)u - \bar{\mu}F(x,u) \leq c(x) $ かつ $ c \in L^1(\Omega) $ という散逸的条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさの仮定がなく、領域や係数が不規則な非有界領域上でも、減衰型双曲型方程式に対してグローバルアトラクターが存在しうるか？
• RQ2 $ H^1_0(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega) $ のコンパクト性が成立しない非有界領域において、どのように漸近的コンパクト性を確立できるか？
• RQ3 非線形項 $ f(x,u) $ に臨界的成長を含む場合、どのような条件下でグローバルアトラクターの存在が保証されるか？
• RQ4 非有界領域上での長時間ダイナミクスを制御するために、$ f(x,u)u - \bar{\mu}F(x,u) \leq c(x) $ かつ $ c \in L^1(\Omega) $ という散逸的条件を用いることは可能か？
• RQ5 $ \beta(x) \in L^p_{\text{loc}}({\mathbb{R}}^N) $、$ p > \max(1, N/2) $ を満たすが、$ \beta \geq 0 $ を仮定しない場合、グローバルアトラクター理論を拡張することは可能か？

主な発見

• 与えられた仮定のもとで、減衰型双曲型方程式が生成する半群 $ \pi_f $ は、$ Z = H^1_0(\Omega) \times L^2(\Omega) $ において漸近的コンパクトである。
• 亜臨界非線形項の場合、尾挙動推定と弱収束の議論を用いて、$ Z $ における漸近的コンパクト性が直接確立される。
• 臨界非線形項の場合、まず $ Y = L^2(\Omega) \times H^{-1}(\Omega) $ において漸近的コンパクト性が証明され、その後、BallとRaugelの手法を用いて $ Z $ に持ち上げられる。
• グローバルアトラクターは $ Z $ に存在し、それはコンパクトであり、$ Z $ の位相においてすべての有界集合を吸引する。
• アトラクターは、$ Z $ の有界部分集合に含まれるすべての初期データに対して、$ H^1_0(\Omega) \times L^2(\Omega) $ で有界である。
• 境界 $ \partial\Omega $ が不規則であっても、$ \beta(x) $ が滑らかでなくても、$ f(x,u) $ が臨界的または亜臨界的成長を示しても、結果は成り立つ。