[論文レビュー] Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems

Kaizhi Wang, Lin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、Tonelli 条件を満たす接触ハミルトニアン系 $T^*M \times \mathbb{R}$ 上における後向き弱 KAM 解の一意性を確立し、最大の前向き弱 KAM 解の存在を証明する。また、Aubry 空間を二つのLegendrian擬グラフの共通部分として特徴づけ、Aubry 空間からその像への射影が双リプシッツ的であることを示す。さらに、最近の文献からの手法を用いて、適合曲線の性質を持つバリア関数を導入する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the study of Aubry-Mather and weak KAM theories for contact Hamiltonian systems with Hamiltonians $H(x,u,p)$ defined on $T^*M imes\R$, satisfying Tonelli conditions with respect to $p$ and $0 0$, where $M$ is a connected, closed and smooth manifold. First, we show the uniqueness of the backward weak KAM solutions of the corresponding Hamilton-Jacobi equation. Using the unique backward weak KAM solution $u_-$, we prove the existence of the maximal forward weak KAM solution $u_+$. Next, we analyse Aubry set for the contact Hamiltonian system showing that it is the intersection of two Legendrian pseudographs $G_{u_-}$ and $G_{u_+}$, and that the projection $\pi:T^*M imes \R o M$ induces a bi-Lipschitz homeomorphism $\pi|_{ ilde{\mathcal{A}}}$ from Aubry set $ ilde{\mathcal{A}}$ onto the projected Aubry set $\mathcal{A}$. At last, we introduce the notion of barrier functions and study their interesting properties along calibrated curves. Our analysis is based on a recent method by \cite{WWY,WWY1}.

研究の動機と目的

• 接触ハミルトニアン系 $T^*M \times \mathbb{R}$ に対して、Tonelli 条件を満たす場合の後向き弱 KAM 解の一意性を確立すること。
• 一意な後向き解を用いて最大の前向き弱 KAM 解の存在を証明すること。
• 後向きおよび前向き解に関連する二つのLegendrian擬グラフの交わりとしてAubry 空間を特徴づけること。
• 射影 $\pi: T^*M \times \mathbb{R} \to M$ を通じて、射影されたAubry 空間の幾何学的・位相的構造を解析し、それが双リプシッツ的ホメオモルフィズムであることを示すこと。
• 接触ハミルトニアン系の文脈において、適合曲線に沿ったバリア関数を導入し、その性質を研究すること。

提案手法

• \cite{WWY,WWY1} からの最近の手法を用いて、接触ハミルトニアン系の弱 KAM 解を分析する。
• ハミルトニアン $H$ が $p$ に関してTonelli 型の正則性および凸性仮定を満たすことにより、後向き弱 KAM 解 $u_-$ の一意性を証明する。
• 一意な後向き解 $u_-$ を用いて、粘性解の性質を活用し、最大の前向き弱 KAM 解 $u_+$ を構成する。
• 適合曲線の構造を活用して、Aubry 空間 $\tilde{\mathcal{A}}$ をLegendrian 擬グラフ $G_{u_-}$ と $G_{u_+}$ の共通部分として定義する。
• 距離的および幾何的議論を用いて、Aubry 空間から射影されたAubry 空間 $\mathcal{A}$ への射影 $\pi|_{\tilde{\mathcal{A}}}$ の双リプシッツ性を確立する。
• バリア関数を導入し、適合曲線に沿ったその挙動を分析し、接触的設定における単調性および比較性の性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触ハミルトニアン系が $T^*M \times \mathbb{R}$ 上でTonelli 条件を満たす場合、後向き弱 KAM 解は一意的か？
• RQ2 接触的設定において、一意な後向き解から最大の前向き弱 KAM 解を構成できるか？
• RQ3 接触ハミルトニアンフレームワークにおいて、Aubry 空間はLegendrian 擬グラフの観点からどのように幾何的に特徴づけられるか？
• RQ4 Aubry 空間とそれ自身を $M$ に射影した像との間にはどのような位相的関係があるか？
• RQ5 接触ハミルトニアン系において、適合曲線に沿ってバリア関数はどのような性質を示すか？

主な発見

• 接触ハミルトニアン系が $p$ に関してTonelli 条件を満たす場合、後向き弱 KAM 解 $u_-$ は一意に定まる。
• 最大の前向き弱 KAM 解 $u_+$ は存在し、一意な後向き解 $u_-$ から構成される。
• Aubry 空間 $\tilde{\mathcal{A}}$ は、正確にLegendrian 擬グラフ $G_{u_-}$ と $G_{u_+}$ の共通部分として与えられ、幾何的特徴づけが得られる。
• Aubry 空間から射影されたAubry 空間 $\mathcal{A} \subset M$ への射影 $\pi|_{\tilde{\mathcal{A}}}$ は双リプシッツ的ホメオモルフィズムである。
• バリア関数が導入され、接触的設定において適合曲線に沿って単調性および比較性の性質を満たすことが示された。
• 分析により、\cite{WWY,WWY1} からの最近の手法を用いて、接触ハミルトニアンフレームワークにおける弱 KAM 理論の整合性が裏付けられた。