[論文レビュー] Augmentations and immersed Lagrangian fillings

Yu Pan, Dan Rutherford|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$\r$-gradedな付随が $J^1\mathbb{R}$ や $J^1S^1$ 内のリークニアンリンクに対して、$\r \neq 1$ のとき、モース複体族と付随の間のファンクター的対応を用いて、埋め込み可能な正確なラグランジュ的フィリングから誘導されるものとして実現可能であることを確立する。主な結果は、このようなすべての付随が埋め込みフィリングによって完全に実現可能であることを示し、古典的な埋め込みケースを一般化し、埋め込み設定における付随からフィリングへの対応の全射性に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

For a Legendrian link $Λ\subset J^1M$ with $M = \mathbb{R}$ or $S^1$, immersed exact Lagrangian fillings $L \subset \mbox{Symp}(J^1M) \cong T^*(\mathbb{R}_{>0} imes M)$ of $Λ$ can be lifted to conical Legendrian fillings $Σ\subset J^1(\mathbb{R}_{>0} imes M)$ of $Λ$. When $Σ$ is embedded, using the version of functoriality for Legendrian contact homology (LCH) from [30], for each augmentation $α: \mathcal{A}(Σ) ightarrow \mathbb{Z}/2$ of the LCH algebra of $Σ$, there is an induced augmentation $ε_{(Σ,α)}: \mathcal{A}(Λ) ightarrow \mathbb{Z}/2$. With $Σ$ fixed, the set of homotopy classes of all such induced augmentations, $I_Σ\subset \mathit{Aug}(Λ)/{\sim}$, is a Legendrian isotopy invariant of $Σ$. We establish methods to compute $I_Σ$ based on the correspondence between Morse complex families and augmentations. This includes developing a functoriality for the cellular DGA from [31] with respect to Legendrian cobordisms, and proving its equivalence to the functoriality for LCH. For arbitrary $n \geq 1$, we give examples of Legendrian torus knots with $2n$ distinct conical Legendrian fillings distinguished by their induced augmentation sets. We prove that when $ρ eq 1$ and $Λ\subset J^1\mathbb{R}$ every $ρ$-graded augmentation of $Λ$ can be induced in this manner by an immersed Lagrangian filling. Alternatively, this is viewed as a computation of cobordism classes for an appropriate notion of $ρ$-graded augmented Legendrian cobordism.

研究の動機と目的

• リークニアンリンクの$\r$-graded付随が、埋め込み可能な正確なラグランジュ的フィリングからどのように生じるかを特定すること。
• コンイカルリークニアンフィリングを介して、リークニアン接触ホモロジー（LCH）のファンクター的性質を、埋め込み可能なラグランジュ的コボルディズムへ拡張すること。
• モース複体族と付随の間の対応を構成し、誘導される付随集合の計算に用いること。
• 特に非可換または特異なフィリングの場合に、すべての付随が埋め込みフィリングによって実現可能かどうかという問題を解決すること。
• リークニアントーラス紐結び目やその他の例について、埋め込みフィリングによって誘導される付随の完全分類を提供すること。

提案手法

• 埋め込み可能な正確なラグランジュ的フィリング $L \subset \mathrm{Symp}(J^1M)$ を、$\Sigma \subset J^1(\mathbb{R}_{>0} \times M)$ 内のコンイカルリークニアンコボルディズムに上げる。ここで、$L$ の二重点は $\Sigma$ のリーブ・コードに対応する。
• 文献[33]におけるセルラーダイアグラム代数（DGA）のファンクター的性質を用いて、DGA写像 $f_\Sigma: \mathcal{A}(\Lambda_+) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ と包含写像 $i_\Sigma: \mathcal{A}(\Lambda_-) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ を定義する。
• 各コンイカルリークニアンフィリング $\Sigma$ の付随 $\alpha: \mathcal{A}(\Sigma) \to \mathbb{Z}/2$ に対して、誘導される付随 $\epsilon_{(\Sigma,\alpha)} = \alpha \circ f_\Sigma$ を定義する。
• セルラーダイアグラム代数のファンクター的性質と、標準的なリークニアン接触ホモロジー（LCH）のファンクター的性質との間の対応を、モース複体族（MCF）を通じて確立する。
• モース複体族（MCF）を用いて、誘導される付随の集合 $I_\Sigma \subset \mathrm{Aug}(\Lambda)/{\sim}$ を計算する。これは $\Sigma$ のリークニアン同相型不変量である。
• リードマイスター移動、カスプ接点移動、ピンチ移動を用いて、DGAの語を簡約し、同相型不変性を再帰的帰納法（交差数に基づく）で確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リークニアンリンク $\Lambda \subset J^1\mathbb{R}$ のどの $\r$-graded付随が、埋め込み可能な正確なラグランジュ的フィリングから誘導される付随として実現可能か？
• RQ2 $\r \neq 1$ のとき、埋め込み可能なラグランジュ的フィリングから誘導される付随への写像が、すべての $\r$-graded付随に対して全射であるか？
• RQ3 任意の $\r$-graded付随は、整合性のあるマスロフポテンシャルと付随を持つコンイカルリークニアンフィリングによって実現可能か？
• RQ4 モース複体族は、セルラーダイアグラム代数のファンクター的性質と誘導される付随集合の間でどのように関係するか？
• RQ5 固定されたコンイカルリークニアンフィリング $\Sigma$ に対して、誘導される付随の集合 $I_\Sigma$ の構造は何か？

主な発見

• 任意のリークニアンリンク $\Lambda \subset J^1\mathbb{R}$ に対して $\r \neq 1$ のとき、任意の $\r$-graded付随 $\epsilon: \mathcal{A}(\Lambda) \to \mathbb{Z}/2$ は、あるコンイカルリークニアンフィリング $\Sigma$ と $\mathcal{A}(\Sigma)$ の付随 $\alpha$ に対して $\epsilon_{(\Sigma,\alpha)} = \alpha \circ f_\Sigma$ の形で実現可能である。
• $\r$ が偶数のとき、任意の与えられた付随を実現するコンイカルリークニアンフィリング $\Sigma$ を可換に選べる。
• $\r = 1$ のとき、任意の $1$-graded付随は、$\mathrm{tb}(U) = -1$ を満たす標準リークニアン・アンコット $U$ から $\Lambda$ へのコンイカルリークニアンコボルディズム $\Sigma: U \to \Lambda$ と、$\mathcal{A}(\Sigma)$ の $1$-graded付随によって実現可能である。
• $\Sigma$ の誘導される付随のホモトピー類の集合 $I_\Sigma$ は、コンイカルリークニアンフィリング $\Sigma$ のリークニアン同相型不変量であり、リークニアントーラス紐結び目の場合、最大 $2n$ 個の異なるコンイカルリークニアンフィリングを区別できる。
• タイプI, II, IIIリードマイスター移動、カスプ接点移動、ピンチ移動を含む完全な移動系を構成し、任意のDGA語を標準形に簡約可能であることを示し、誘導される付随集合のリークニアン同相型不変性を証明した。
• モース複体族と付随の間の対応は、$I_\Sigma$ を決定するための計算的枠組みを提供し、この枠組みは、埋め込みコボルディズムにおける標準的なLCHファンクター的性質と同値である。