[論文レビュー] Augmented Lagrangian for treatment of hanging nodes in hexahedral meshes

Saumik Dana|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、六面体有限要素メッシュにおけるぶら下がりノード（hanging nodes）を扱うための拡張ラグランジュ法を提案する。この手法により、境界を越えてきめ細かくメッシュを粗くしても制約の精度を損なわず、計算の効率が向上する。繰り返し更新されるラグランジュ乗数のおかげで、ペナルティ法に起因する悪条件化を回避し、ペナルティパラメータの選択にかかわらず安定性と精度を維持できる。

ABSTRACT

The surge of activity in the resolution of fine scale features in the field of earth sciences over the past decade necessitates the development of robust yet simple algorithms that can tackle the various drawbacks of in silico models developed hitherto. One such drawback is that of the restrictive computational cost of finite element method in rendering resolutions to the fine scale features, while at the same time keeping the domain being modeled sufficiently large. We propose the use of the augmented lagrangian method commonly used in the treatment of hanging nodes in contact mechanics in tackling the drawback. An interface is introduced in a typical finite element mesh across which an aggressive coarsening of the finite elements is possible. The method is based upon minimizing an augmented potential energy which factors in the constraint that exists at the hanging nodes on that interface. This allows for a significant reduction in the number of finite elements comprising the mesh with concomitant reduction in the computational expense.

研究の動機と目的

• 大規模領域における微細な地質力学的特徴をモデル化する際、均一に細かいメッシュが計算的に非効率であるという問題を解決すること。
• 従来の手法が、流体メッシュよりも均一に粗い力学的メッシュを必要としているという制限を克服すること。
• 六面体要素にぶら下がりノードを許容することで、界面を越えて任意のメッシュリファインメントを可能にすること。
• 追加の自由度を増やさずに、ぶら下がりノード界面における制約を安定的かつ高精度に満たす手法を開発すること。

提案手法

• ぶら下がりノードにおける幾何的制約を満たすように、拡張されたポテンシャルエネルギー汎関数を最小化する問題として定式化する。
• 繰り返し更新されるラグランジュ乗数を用いて制約を強制する拡張ラグランジュ法を採用し、それらを独立した自由度として解く必要を回避する。
• 制約違反の二乗に比例するペナルティ項を導入することで、正確な制約満足への収束を保証する。
• 非アフィンな六面体要素に対して勾配を計算し、制約を強制するために、物理座標系から参照要素座標系への変換を適用する。
• 制約行列の核空間を特定し、六面体要素の面の式を頂点座標からSVDを用いて計算する。
• 等パラメトリック写像のヤコビアンの逆行列を用いて、物理空間における面方程式の勾配を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張ラグランジュ法は、六面体有限要素メッシュにおけるぶら下がりノードを効果的に処理し、適応的メッシュリファインメントを可能にするか？
• RQ2 ペナルティ法および標準ラグランジュ法と比較して、ぶら下がりノード制約において、安定性と精度の観点で本手法はどのように異なるか？
• RQ3 ペナルティパラメータの値にかかわらず、解の精度と条件数を維持できるか？
• RQ4 システムの自由度を追加せずに、ぶら下がりノードにおける制約を満たすことは可能か？
• RQ5 非アフィンな六面体要素において、ぶら下がりノード界面における幾何的制約を正確に表現・計算する方法は何か？

主な発見

• 拡張ラグランジュ式は、標準ラグランジュ法とは異なり、自由度の増加なしに正確な制約満足を可能にする。
• ペナルティパラメータにかかわらず、本手法は絶対的に安定であり、純粋なペナルティ法で見られる悪条件化の問題を回避する。
• ラグランジュ乗数はペナルティパラメータに依存せず、漸近的値に収束するため、収束のロバスト性が保証される。
• 本手法により、界面を越えてきめ細かくメッシュを粗くすることが可能となり、要素数と計算コストが顕著に削減される。
• SVDと座標変換を用いて導出された三線形面方程式により、ぶら下がりノードにおける幾何的制約が正確に表現される。
• 等パラメトリック写像のヤコビアンの逆行列を用いて物理空間における勾配を計算することで、非アフィンな六面体要素に対しても本手法を適用可能とする。