[論文レビュー] Augmented virtual double categories

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、水平的対象が空であるセルを許容することで、仮想二重圏を拡張する拡張仮想二重圏を導入する。このような構造は、水平単位を介して「局所的に小さな対象」の概念を自然に支持することを示しており、単位的拡張仮想二重圏は単位的仮想二重圏とカテゴリカルに同値であることが示され、形式的圏論における証明の簡略化とより広範な適用可能性が可能になる。

ABSTRACT

In this article the notion of virtual double category (also known as fc-multicategory) is extended as follows. While cells in a virtual double category classically have a horizontal multi-source and single horizontal target, the notion of augmented virtual double category introduced here extends the latter notion by including cells with empty horizontal target as well. Any augmented virtual double category comes with a built-in notion of "locally small object" and we describe advantages of using augmented virtual double categories as a setting for formal category rather than 2-categories, which are classically equipped with a notion of "admissible object" by means of a yoneda structure in the sense of Street and Walters. An object is locally small precisely if it admits a horizontal unit, and we show that the notions of augmented virtual double category and virtual double category coincide in the presence of all horizontal units. Without assuming the existence of horizontal units we show that most of the basic theory for virtual double categories, such as that of restriction and composition of horizontal morphisms, extends to augmented virtual double categories. We introduce and study in augmented virtual double categories the notion of "pointwise" composition of horizontal morphisms, which formalises the classical composition of profunctors given by the coend formula.

研究の動機と目的

• 仮想二重圏の理論を、水平的対象が空であるセルを許容することで拡張し、拡張仮想二重圏という新しい構造を導入すること。
• 拡張仮想二重圏における局所的に小さな対象が、水平単位をもつ対象とちょうど一致することを確立すること。
• 仮想二重圏の基礎的理論（例えば、水平的射の制限と合成）が、拡張された設定へと拡張されることを示すこと。
• コエンダのような公式を用いて、水平的射の「点ごとの」合成を形式化し、プロファンクター合成を一般化すること。
• 単位的拡張仮想二重圏が、カテゴリカルに単位的仮想二重圏と同値であることを証明することにより、2つの既存の枠組みを統合すること。

提案手法

• 水平的対象が空であるセルを含む仮想二重圏の一般化として、拡張仮想二重圏を定義する。
• 水平単位セルをもつ対象として「局所的に小さな対象」の概念を導入し、表現可能性およびヨネダ構造と関連付ける。
• 水平的射の制限と合成の理論を拡張設定へと拡張し、重要な性質を保つ。
• コエンダに類似した普遍的性質を満たす普遍セルを用いて、「点ごとの」水平合成を形式化する。
• 単位的仮想二重圏からそれらの拡張版への厳密2関手 N: VirtDblCatu → AugVirtDblCatu を構成する。
• N と忘却関手 U: AugVirtDblCat → VirtDblCat の合成が恒等関手と2-自然同型であることを証明し、2-圏的同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想二重圏の概念を、水平的対象が空であるセルを含むようにどのように拡張できるか？
• RQ2 拡張仮想二重圏の文脈において、水平単位をもつ対象のカテゴリカルな意味は何か？
• RQ3 仮想二重圏の基礎的理論（例えば、制限と合成）が、拡張仮想二重圏へどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 拡張仮想二重圏における水平的射の「点ごとの」合成は、コエンダを用いた古典的なプロファンクター合成をどのように形式化するか？
• RQ5 単位的拡張仮想二重圏と単位的仮想二重圏の間の関係は何か？そして、それらはカテゴリカルに同値であるか？

主な発見

• 拡張仮想二重圏の概念は、水平的対象が空であるセルを含むことで、仮想二重圏を拡張し、垂直的射が2-圏をなすというより自然な扱いを可能にする。
• 対象が局所的に小さな対象であるための必要十分条件は、その対象が水平単位をもつことである。これにより、局所的小さな性質の直接的なカテゴリカルな特徴づけが得られる。
• 水平的射の制限と合成の基本的理論は、水平単位が仮定されていなくても、拡張仮想二重圏へと拡張可能である。
• 「点ごとの」水平合成の概念は、普遍セルを用いて形式化され、古典的なプロファンクター合成のコエンダ公式を一般化する。
• 単位的拡張仮想二重圏は、単位的仮想二重圏とカテゴリカルに同値であり、厳密2関手 N: VirtDblCatu → AugVirtDblCatu がその同値性を提供する。
• この同値性は、厳密2関手 N と2-自然同型 τ: id ≅ N∘U を用いて実現され、拡張された枠組みが古典的な単位的ケースを包含・簡略化していることが示される。