[論文レビュー] Auslander's defects over extriangulated categories: an application for the General Heart Construction

Yasuaki Ogawa|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アーランダーの公式を拡張し、付加的圏におけるアーランダーの欠損、有限生成関手、左完全関手を含む局所化系列を確立する。この枠組みを用いて、三角圏におけるコトルージョン対のハートが、コトルージョン類上の左完全関手の圏とカテゴリカルに同値であることを示し、t-構造やクラスター傾き部分圏に関する先行研究を統合・一般化する。

ABSTRACT

The notion of extriangulated category was introduced by Nakaoka and Palu giving a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories. Our first aim is to provide an extension to extriangulated categories of Auslander's formula: for some extriangulated category $\mathcal{C}$, there exists a localization sequence $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{C} o\operatorname{\mathsf{mod}}\mathcal{C} o\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{C}$, where $\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{C}$ denotes the full subcategory of finitely presented left exact functors and $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{C}$ the full subcategory of Auslander's defects. Moreover we provide a connection between the above localization sequence and the Gabriel-Quillen embedding theorem. As an application, we show that the general heart construction of a cotorsion pair $(\mathcal{U},\mathcal{V})$ in a triangulated category, which was provided by Abe and Nakaoka, is same as the construction of a localization sequence $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{U} o\operatorname{\mathsf{mod}}\mathcal{U} o\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{U}$.

研究の動機と目的

• アーランダーの公式をアーベル圏から付加的圏へ拡張すること。
• 付加的圏におけるアーランダーの欠損、有限生成関手、左完全関手を含む局所化系列を確立すること。
• この系列を正確な圏のガブリエル＝クイレン埋め込み定理に関連付けること。
• この枠組みを三角圏におけるコトルージョン対の一般化されたハート構成に適用すること。
• コトルージョン対のハートが、コトルージョン類上の左完全関手の圏とカテゴリカルに同値であることを示すこと。

提案手法

• 左完全関手の包含関手の左随伴を用いて、ヤコビアン埋め込みと合成された核として、付加的圏におけるアーランダーの欠損を定義する。
• 局所化系列：def C → mod C → lex C を構成する。ここで、mod C は有限生成関手の圏、lex C は左完全関手の完全部分圏である。
• C → mod C → lex C という合成関手 E_C = Q∘Y を用いて、付加的圏が正確またはアーベルであるときの特徴づけを行う。
• 直接列挙とハート構成の構造を分析することで、局所化系列をガブリエル＝クイレン埋め込み定理に関連付ける。
• 三角圏 T におけるコトルージョン対 (U,V) のハートが、U[−1] 上の左完全関手の圏と同値であることを示す関手 Ψ を用いて、H̲ と lex U の自然な同値を確立する。
• コhomological関手 H と合成関手 Φ = Ψ⁻¹∘Q∘Y の間に同型を確立し、H ≅ Φ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーランダーの公式は、アーベル圏から付加的圏へ一般化可能か？
• RQ2 付加的圏 C における局所化系列 def C → mod C → lex C の構造は何か？
• RQ3 この局所化系列は、正確な圏のガブリエル＝クイレン埋め込み定理とどのように関係するか？
• RQ4 三角圏におけるコトルージョン対のハートは、コトルージョン類上の左完全関手の圏と同値か？
• RQ5 この同値の下で、コhomological関手 H: T → H̲ は合成関手 Q∘Y に対応するか？

主な発見

• 任意の弱核を持つ付加的圏 C に対して、局所化系列 def C → mod C → lex C が存在する。
• 関手 E_C: C → lex C が正確かつ fully faithful であるための必要十分条件は、C が正確な圏であることである。
• 関手 E_C が正確な同値であるための必要十分条件は、C がアーベル圏であることであり、このとき C ≅ lex C が成り立つ。
• 三角圏 T におけるコトルージョン対 (U,V) のハート H̲ は、自然に lex U と同値である。
• コhomological関手 H: T → H̲ は、合成関手 Φ = Ψ⁻¹∘Q∘Y と同型であり、H ≅ Φ が成り立つ。
• 同値 Ψ: H̲ → lex U は全射的、忠実、かつ本質的に全射的であり、ハートを U[−1] 上の左完全関手の圏とカテゴリカルに同定する。