[論文レビュー] Automata and Reduced Words in the Free Group

Thomas Ang, Giovanni Pighizzini+2 more|ArXiv.org|Oct 23, 2009

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は自由群における簡約表現の下での形式言語の閉包性を調査し、正則言語は簡約表現に関して閉じているが、文脈自由言語はそうではないことを示している。状態複雑性の上限と下限を確立し、正則言語の同値語の集合が非正則である可能性があることを証明している。一般化された簡約表現形式は、正則入力に対しても文脈自由性を保たない。

ABSTRACT

We consider some questions about formal languages that arise when inverses of letters, words and languages are defined. The reduced representation of a language over the free monoid is its unique equivalent representation in the free group. We show that the class of regular languages is closed under taking the reduced representation, while the class of context-free languages is not. We also give an upper bound on the state complexity of the reduced representation of a regular language, and prove upper and lower bounds on the length of the shortest reducible string in a regular language. Finally we show that the set of all words which are equivalent to the words in a regular language can be nonregular, and that regular languages are not closed under taking a generalized form of the reduced representation.

研究の動機と目的

• 形式言語クラスの自由群における簡約表現の下での閉包性を分析すること。
• 正則言語の簡約表現が常に正則であるかどうか、および正則言語内の語と同値なすべての語の集合が正則かどうかを特定すること。
• 正則言語における最短の還元可能な文字列の長さの上限と下限を確立すること。
• 還元が任意の等式によって定義される一般化された簡約表現の挙動を調査すること。

提案手法

• 隣接する逆対 $aa^{-1}$ を削除する還元関係 $\vdash$ を定義し、ニューマンの補題を用いてそのコンフラuent性を証明することで、各 $w$ に対して一意な簡約語 $r(w)$ が存在することを保証する。
• 決定性および $\epsilon$-NFA の構成を用いて言語の受理と簡約言語表現をモデル化し、状態複雑性の分析を行う。
• スタックを用いた記号とその逆元の比較をシミュレートすることで、与えられた言語 $L$ に同値なすべての語を認識するためのPDAを構築する。
• 簡約言語のオートマトンを逆転させ、スタックベースの同値性チェックと組み合わせることで、正則 $L$ に対して $\mathrm{eq}(L)$ が文脈自由であることを証明する。
• 自動機 $M_n$ を用いた反例の構築により、正則言語における還元可能な文字列の最大長を示す。
• 任意の定義集合の等式を導入することで還元システムを一般化し、得られる一般化された簡約表現 $r_g(L)$ の閉包性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則言語の簡約表現は常に正則か？
• RQ2 正則言語内の語と同値なすべての語の集合は非正則になり得るか？
• RQ3 正則言語における最短の還元可能な文字列の長さの上限と下限は何か？
• RQ4 文脈自由言語のクラスは簡約表現に関して閉じているか？
• RQ5 還元が任意の等式によって定義される場合、正則言語の一般化された簡約表現は文脈自由のまま保たれるか？

主な発見

• 正則言語のクラスは簡約表現に関して閉じており、正則言語の簡約形は常に正則である。
• 文脈自由言語のクラスは簡約表現に関して閉じていない。反例により、還元後の言語が非文脈自由であることが示された。
• 正則言語の簡約表現の状態複雑性に対する上限が確立されたが、正確な値は入力オートマトンの構造に依存する。
• 正則言語において、$n$ 状態のオートマトンが認識する言語では、最短の還元可能な文字列の長さは $n^2/2$ に達する可能性がある。奇数および偶数 $n$ について明示的な構成が与えられている。
• 正則言語 $L$ に同値なすべての語の集合 $\mathrm{eq}(L)$ は非正則になり得る。例として $\{\epsilon\}$ を $\{1,1^{-1}\}$ 上で考えるとき、$\mathrm{eq}(L)$ は非正則な括弧の対応する言語である。
• 任意の等式によって定義される一般化された還元システムでは、正則言語の一般化された簡約表現が文脈自由でない場合がある。例として $L = (abc)^*$ とし、交換関係 $ab=ba$、$ac=ca$、$bc=cb$ を導入すると、$r_g(L) = \{x : |x|_a = |x|_b = |x|_c\}$ が得られ、これは非文脈自由である。