[論文レビュー] Automated Calculation of Dijet Soft Functions in Soft-Collinear Effective Theory

Guido Bell, Rudi Rahn+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、二進みのソフト関数をソフト・コラインアーリー有効理論（SCET）において、二ループのオーダーまで、体系的かつ自動化された数値フレームワークを提示する。この手法は、普遍的な位相空間パrametrizationとセクタ分解を用いて、赤外特異性を分離する。この方法により、一般の二進みソフト関数の最初の完全自動化された数値評価が可能となり、Cパラメータおよび運動量の観測関数に対して、高い精度でNNLOでの新しい予測が得られた。これには、運動量の観測関数の最初の二ループの異常次元および有限項が含まれる。

ABSTRACT

We present a systematic framework for the calculation of dijet soft functions, which are defined as a matrix element of two light-like Wilson lines that is weighted by a generic measurement function. Based on a universal parametrisation of the phase-space integrals, we isolate the singular terms in Laplace space and evaluate the observable-dependent integrations numerically. We discuss the implementation of our algorithm into the public program SecDec, and present results for various SCET-1 soft functions to two-loop order. In particular, we obtain new predictions for the C-parameter and the angularity variables. Finally, we discuss ongoing extensions and the future outlook of the project.

研究の動機と目的

• SCETにおける二ループを超える階層のソフト関数を体系的かつ自動化された方法で計算するための手法を開発すること。
• 個々の観測関数ごとの解析的導出を個別に行わずに、一般のジェット観測関数のソフト関数の数値評価を可能にすること。
• Cパラメータおよび運動量の観測関数のような一般の観測関数に対して、二ループのソフト異常次元および有限項を正確に計算すること。これは、NNLLおよびN³LLの再結合に不可欠である。
• SecDecプログラムの適用範囲を、任意の測定関数を持つソフト関数に対応させる。
• 運動量の観測関数の二ループの最初の数値結果を、運動量パラメータの範囲にわたり提供すること。

提案手法

• 位相空間積分の普遍的パrametrizationを用いて、観測関数に依存しないラプラス空間における赤外特異性を分離する。
• 特異項はセクタ分解により抽出され、観測関数依存の積分はSecDecプログラムを用いて数値的に評価される。
• 二ループ図における重複する特異性を、体系的なセクタ分解戦略によって処理する。
• 測定関数をラプラス空間に定式化することで、分布値を含む表現を回避し、数値積分を可能にする。
• 複数のラプラス変数を導入することにより、ヘミスフェアソフト関数のような多微分ソフト関数に対しても、このアプローチを拡張する。
• 急速性レギュレータなどの追加レギュレータや、累積量およびフーリエ・ラプラス形式を含む代替測定関数に対しても、この手法は適応可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SCETにおける二ループを超える階層のソフト関数を体系的かつ自動化された数値手法で計算することは可能か？
• RQ2 Cパラメータや運動量のような一般の観測関数に対して、解析的で個別的な導出を伴わず、二ループのソフト異常次元および有限項を正確に計算することは可能か？
• RQ3 セクタ分解を用いた数値積分は、ソフト関数の既知の解析的結果をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 このフレームワークは、SCET-2型の観測関数のように追加レギュレータを要する観測関数に対応可能か？
• RQ5 この手法は、多微分ソフト関数や代替測定関数形式へ一般化可能か？

主な発見

• この手法は、二ループの異常次元の解析的トレース結果を、非常に高い精度で再現し、数値的手法の妥当性を検証した。
• Cパラメータのソフト関数に関して、二ループの有限項の数値評価により、係数 $ c_2^{C_A} = -2.65034 $ が得られ、解析的値 $ -2.65034 $ と非常に良好に一致した。
• 運動量の観測関数の二ループの有限項は、20個の運動量パラメータ $ A $ に対して計算され、$ A=0 $ における解析的トレース値と一致した。
• 数値データに対する四次元フィットを用いて、運動量の観測関数の二ループ異常次元および有限項が抽出され、NNLL再結合のための要素が完成した。
• ヘミスフェアソフト関数は、$ u = \tau_L / (\tau_L + \tau_R) $ の関数として数値的に計算され、[5]の解析的結果と数値精度内で一致した。
• 二重実発生項における $ C_F^2 $ 係数の正確な回復が、大きなキャンセルが生じる場合でも正確に行われたことから、この手法の頑健性が示された。