[論文レビュー] Automated Induction for Complex Data Structures

Adel Bouhoula, Florent Jacquemard|ArXiv.org|Nov 28, 2008

Algorithms and Data Compression参考文献 42被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複雑なデータ構造における制約付きリライト規則を伴う等式仕様において、自動的かつ帰納的定理証明を実行する整合的で、反証的に完全な手続きを提示する。制約付き木グラマーを用いて正確な帰納スキーマを生成することで、ソートされたリストやパワーリストのような非自明な例に対しても自然な証明が可能となり、正則木言語への属性や順序関係といった制約をサポートする。

ABSTRACT

We propose a procedure for automated implicit inductive theorem proving for equational specifications made of rewrite rules with conditions and constraints. The constraints are interpreted over constructor terms (representing data values), and may express syntactic equality, disequality, ordering and also membership in a fixed tree language. Constrained equational axioms between constructor terms are supported and can be used in order to specify complex data structures like sets, sorted lists, trees, powerlists... Our procedure is based on tree grammars with constraints, a formalism which can describe exactly the initial model of the given specification (when it is sufficiently complete and terminating). They are used in the inductive proofs first as an induction scheme for the generation of subgoals at induction steps, second for checking validity and redundancy criteria by reduction to an emptiness problem, and third for defining and solving membership constraints. We show that the procedure is sound and refutationally complete. It generalizes former test set induction techniques and yields natural proofs for several non-trivial examples presented in the paper, these examples are difficult to specify and carry on automatically with related induction procedures.

研究の動機と目的

• 集合、ソートされたリスト、パワーリストなど、非自由コンストラクタを必要とする複雑なデータ構造の帰納的証明の自動化という課題に対処すること。
• コンストラクタ正規形を正確に捉える有限で明確な帰納スキーマを提供し、テストセットで見られる過剰近似を回避すること。
• 制約付き木グラマーを暗黙的帰納に統合し、部分目標の自動生成と検証を可能とすること。
• リライト規則内に、構文的等価性、非等価性、順序関係、正則木言語への属性といった制約を統合すること。
• 非自由コンストラクタおよび部分的仕様の存在下でも整合性と反証的に完全性を保証すること。

提案手法

• 手続きは、コンストラクタ正規形の集合を正確に生成する制約付き木グラマーを計算し、これを帰納スキーマとして用いる。
• 制約付き木グラマーを用いて変数の代入により部分目標を生成し、帰納的段階の構築を可能にする。
• 部分目標の妥当性と重複の検査は、制約付き木グラマー言語の空集合問題に還元することで実施する。
• 属性制約はグラマー形式主義を通じて自然に扱われ、セキュリティプロトコルのようなシステムにおけるトレース性質の検証を可能にする。
• コンストラクタ間の制約付きリライト規則と、定義関数のための条件付き規則をサポートすることで、表現力を拡張する。
• 部分目標の検証には、空集合問題の決定性を保証する仮定に依存する、制約付きグラマーの空集合問題の決定手続きを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自由コンストラクタを伴う等式仕様に対して、自動的に正確で有限の帰納スキーマを生成する方法は何か？
• RQ2 複雑なデータ構造の存在下で、制約付き木グラマーは、過剰近似の問題を抱えるテストセットの代わりに効果的に機能するか？
• RQ3 順序関係、非等価性、正則木言語への属性といった制約を、帰納的定理証明に統合する方法は何か？
• RQ4 制約付き木グラマーの空集合問題の決定性を保証する条件は何か？これにより部分目標の妥当性検証が安全に行えるか？
• RQ5 この手続きは部分的仕様を処理でき、十分に完全な理論に拡張する際も証明を保持できるか？

主な発見

• 提案手法は整合的かつ反証的に完全であり、誤った証明仮説が正しく反証されることを保証する。
• 制約付き木グラマーを帰納スキーマとして用いることで、テストセットの過剰近似問題を回避でき、より信頼性の高い証明が可能になる。
• 制約付きリライト規則を通じて、ソートされたリスト、パワーリスト、完全二分木といった複雑なデータ構造を自然にサポートする。
• 正則木言語への属性制約はネイティブにサポートされ、無限状態系におけるトレース性質の検証が可能になる。
• 従来のテストセット帰納技術を一般化し、非自明な例に対し自然で人間が読みやすい証明を生成する。
• 仕様に部分関数や新しいコンストラクタ規則を追加する際も、装飾付き証明仮説の証明を保持する。