[論文レビュー] Automated Method for Building CNOT Based Quantum Circuits for Boolean Functions

Ahmed Younes, Julian F. Miller|ArXiv.org|Apr 14, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、任意のブール関数に対して、|0⟩に初期化された1つの補助量子ビットを用いて、CNOTに基づく量子回路を自動的かつ決定論的に合成する手法を提示する。この手法は、真理値表を条件付き制御（cond-0 または cond-1）を持つ制御CNOTゲートに変換することで、可逆性を保ちつつ量子ビットの使用を最小限に抑える。主な貢献は、従来手法を上回るゲート数とスケーラビリティを実現する一意的かつコンactな回路形式を提供することにある。

ABSTRACT

In this paper we discuss an efficient technique that can implement any given Boolean function as a quantum circuit. The method converts a truth table of a Boolean function to the corresponding quantum circuit using a minimal number of auxiliary qubits. We give examples of some circuits synthesized with this technique. A direct result that follows from the technique is a new way to convert any classical digital circuit to its classical reversible form.

研究の動機と目的

• 任意のブール関数を実装する効率的で自動化された可逆量子回路の構築手法を開発すること。
• 補助量子ビットの数を最小限に抑えること、具体的には|0⟩に初期化された1つの量子ビットに限定すること。
• 非一意性の問題を回避する決定論的かつ一意的な回路合成手法を提供すること。
• 任意の古典的デジタル回路から、量子回路合成を経て可逆古典回路を構築できることを可能にすること。
• 従来のKarnaughマップベースや複数補助量子ビットを用いる手法と比較して、スケーラビリティを向上させるとともにゲート数を削減すること。

提案手法

• ブール関数の真理値表を、|0⟩に初期化された1つの補助量子ビットに、関数の出力を格納する形で量子回路にマッピングする。
• 一般化されたCNOTゲートを用い、すべての制御量子ビットが指定された条件（cond-0 は |0⟩、cond-1 は |1⟩）を満たす場合にのみターゲット量子ビットを反転させる。
• 真理値表内の各ミンタームは、一意な制御量子ビットの組合せと条件を持つCNOTゲートに対応し、代数的に $ x_t \to x_t \bigoplus \bigwedge_{i} (x_i \bigoplus \bar{\beta}_i) $ として表現される。
• アルゴリズムは、すべての δ = 1 条件（cond-1）を除去する変換を適用し、回路の複雑さを低減するとともに、最小限のゲート数を保証する。
• 最終的な回路はCNOTゲートのシーケンスとして構築され、n量子ビット関数に対してはゲート数が $ 3^{n-1} $ で上限づけられる。
• 先行研究[5]の正規形を活用してゲートコストをさらに最適化するが、コスト効率を向上させるためにややゲート数が増加する可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの補助量子ビットを用いた手法が、任意のブール関数に対して、CNOTベースの最小量子回路を決定論的に合成可能か？
• RQ2 本手法は、Karnaughマップベースや複数補助量子ビットを用いる手法と比較して、ゲート数とスケーラビリティにおいてどのように異なるか？
• RQ3 n変数のすべての可能なブール関数に対して、この手法が生成する回路サイズの確率分布はどのようになるか？
• RQ4 この手法を用いて、任意の非可逆古典デジタル回路と等価な可逆古典回路を生成可能か？
• RQ5 得られる量子回路は一意的であり、従来手法よりも優れた最小性を達成しているか？

主な発見

• 本手法は、各ブール関数に対して一意な量子回路を生成し、従来のKarnaughマップベース手法の非一意性問題を回避する。
• 必要なCNOTゲートの最大数は $ 3^{n-1} $ であり、n量子ビット関数の最も確率の高い回路サイズは約 $ 2^{n-2} $ ゲートである。
• 3量子ビット関数の場合、4ゲートまたは0ゲートの回路の確率は0.0625であり、$ 2^{n-2} $ ゲートの回路の確率は0.875である。
• 4量子ビット関数の場合、8ゲートまたは0ゲートの回路の確率は0.0039であり、$ 2^{n-2} $ ゲートの回路の確率は0.7109である。
• 従来手法[5]と比較して、大幅なゲート数削減を達成しており、複数補助量子ビットを必要とし、より大きな回路を生成する。
• 本手法により、任意の古典的デジタル回路から、対応する量子回路を合成し、可逆論理ゲートを抽出することで、直接的に可逆古典回路を構築可能である。