[論文レビュー] Automatic continuity for homeomorphism groups of noncompact manifolds

Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、多様体が境界付きコンパクト多様体の内部に同相である場合、およびマークされた点の集合が孤立点とカントール集合の有限和である場合、非コンパクト多様体の同相群およびその写像類群に対して自動連続性が確立される。スティンハウス性質と断片化技術を用いて、このような群から分離可能な位相群への任意の準同型は必然的に連続であることが証明され、従来のコンパクト多様体に関する結果が非コンパクトな設定へと拡張される。

ABSTRACT

We extend the proof of automatic continuity for homeomorphism groups of manifolds to non-compact manifolds and manifolds with marked points and their mapping class groups. Specifically, we show that, for any manifold $M$ homeomorphic to the interior of a compact manifold, and a set $X \subset M$ homeomorphic to the union of a Cantor set and finite set, the relative homeomorphism group $\mathrm{Homeo}(M, X)$ and the mapping class group $\mathrm{Homeo}(M, X)/\mathrm{Homeo}_0(M,X)$ have the property that any homomorphism from such a group to any separable topological group is necessarily continuous.

研究の動機と目的

• 境界付きコンパクト多様体の内部に同相である非コンパクト多様体への自動連続性の性質の拡張。
• このような多様体における有限集合および／またはカントール集合を保存する相対同相群に対する自動連続性の確立。
• N. ヴラミスが提起した無限型曲面の写像類群における自動連続性に関する問題の解決。
• 非コンパクト多様体のマーク付き同相群に対してスティンハウス性質が成り立つことを示し、自動連続性を示唆すること。

提案手法

• ローゼンダールとソレックのスティンハウス性質の基準を、バナッハ・カテゴリー論法を用いて非コンパクト多様体へ適応する。
• エドワーズ＝キルビーに従う断片化補題を用いて、互いに交わらないコンパクト集合に台を持つ同相群を分解する。
• 可算被覆と左平行移動を用いて、群内の単位元の対称近傍を構成する。
• カントール集合内の点の周囲の分離球をメトリックに基づいて構築し、対応する群元が対称集合 W の有界べき内に収まるように制御する。
• 離れた分離球上の群作用が、対称集合 W の有界べき内に有限回の近似列として実現可能であることを示す。
• 孤立点を除去し、同相不変性を用いて一般の場合をカントール集合の場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きコンパクト多様体の内部に同相である非コンパクト多様体の同相群に対して、自動連続性の性質は成り立つか？
• RQ2 このような多様体において、カントール集合または有限集合を保存する同相群に対して、スティンハウス性質を確立できるか？
• RQ3 カントール集合を除いたコンパクト多様体から得られる無限型曲面の写像類群は、自動連続性を満たすか？
• RQ4 マーク付き集合（例えば、有限点、カントール集合）にどのような条件を課すと、相対同相群がスティンハウス性質を満たすか？

主な発見

• M が境界付きコンパクト多様体の内部に同相であり、X が有限集合またはカントール集合である限り、相対同相群 $\operatorname{Homeo}(M,X)$ はスティンハウスである。
• 同じ条件下で、写像類群 $\operatorname{Homeo}(M,X)/\operatorname{Homeo}_{0}(M,X)$ もスティンハウスであるため、自動連続性が成り立つ。
• 証明は、X の点の周囲の分離球の存在と、対称集合 W の有界べき内での球写像の近似可能性に依存する。
• $\operatorname{Homeo}_{c}(M)$ を非コンパクトな M 上のコンパクト台付き同相群とすると、$\operatorname{Homeo}(\bar{M})$ への包含写像は連続ではないため、自動連続性は成り立たない。
• 結果として、無限型曲面の一般化された写像類群に対しても自動連続性が拡張され、N. ヴラミスの質問に答えが得られる。
• 証明により、$G(X) \subset W^{24+n}$ となるような n（M の次元にのみ依存）が存在することが示され、単位近傍が W の有限べき内に含まれることが示された。