[論文レビュー] Automatic Continuity of $σ$-Derivations on $C^*$-Algebras

Madjid Mirzavaziri, Mohammad Sal Moslehian|Aug 1, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、C*-代数上のσ微分作用素の自動連続性を確立する。σが連続な∗-線形写像であるならば、B(H)への任意のσ微分作用素は自動的に連続である。主な貢献は、Sakaiの微分作用素に関する定理を一般化し、連続な∗-σ微分作用素が連続な∗-準同型を用いた自然な構成によって得られることを示し、C*-代数上の一般化された微分作用素への自動連続性を拡張する。

ABSTRACT

Let $A$ be a $C^*$-algebra acting on a Hilbert space $H$, $σ:A o B(H)$ be a linear mapping and $d:A o B(H)$ be a $σ$-derivation. Generalizing the celebrated theorem of Sakai, we prove that if $σ$ is a continuous $*$-mapping then $d$ is automatically continuous. In addition, we show the converse is true in the sense that if $d$ is a continuous $*-σ$-derivation then there exists a continuous linear mapping $Σ:A o B(H)$ such that $d$ is $*-Σ$-derivation. The continuity of the so-called $*-(σ,τ)$-derivations is also discussed.

研究の動機と目的

• Sakaiの微分作用素に関する自動連続性の定理を、C*-代数上のσ微分作用素へ一般化すること。
• σがHilbert空間H上の作用素代数B(H)への連続な∗-線形写像であるとき、σ微分作用素の連続性を調査すること。
• 逆の結果を確立すること：もし∗-σ微分作用素が連続ならば、それは連続な∗-準同型から生じる。
• ∗-(σ,τ)-微分作用素へ理論を拡張し、σおよびτが連続であるという仮定の下でその自動連続性を証明すること。

提案手法

• 線形作用素Tの分離空間S(T)を用いて、σ微分作用素の連続性を分析する。
• 補題2.3を適用し、dが不連続であるならば、σは分離空間上で乗法を保存しないことの証明を行う。
• dの像の閉包への射影Pを構成し、dをより大きな代数上の微分作用素Dと関連付ける。
• 閉グラフ定理を用いて、dが連続であることと、その分離空間が自明であることとは同値であることを示す。
• C*-代数の構造とσが∗-線形であることを利用して、問題を通常の微分作用素に還元する。
• Banach双加群への微分作用素の連続性に関するRingroseの定理を適用し、自動連続性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数上のσ微分作用素が自動的に連続となる条件は何か？
• RQ2 Sakaiの定理の逆がσ微分作用素に対して成り立つか：もし∗-σ微分作用素が連続ならば、それは連続な∗-準同型から生じるか？
• RQ3 ∗-(σ,τ)-微分作用素とσ微分作用素の関係は何か？ そして、自動連続性はこのクラスへ拡張可能か？
• RQ4 σの連続性は、C*-代数上の関連するσ微分作用素の連続性にどのように影響するか？
• RQ5 σ微分作用素の理論は、量子系の変形や複雑系のダイナミクスをモデル化するために用いられるか？

主な発見

• σがC*-代数AからB(H)への連続な∗-線形写像であるならば、任意のσ微分作用素d: A → B(H)は自動的に連続である。
• 任意の連続な∗-σ微分作用素dに対して、dが∗-Σ微分作用素であるような連続な∗-準同型Σ: A → B(H)が存在する。
• σが準同型でなくても、連続かつ∗-線形である限り、σ微分作用素の自動連続性は成立する。
• σおよびτが連続な∗-線形写像である限り、C*-代数上の任意の∗-(σ,τ)-微分作用素は自動的に連続である。
• d(A)の閉包への射影を用いた微分作用素Dおよび準同型Σの構成により、Dが連続であることとdが連続であることが同値であることが保証される。
• Sakaiの微分作用素に関する定理は、より広い一般化された微分作用素のクラスへ拡張され、既存の文献における結果を統合・一般化する。