[論文レビュー] Automatic continuity of derivations on C*-algebras and JB*-triples

Antonio M. Peralta, Bernard Russo|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ジョルダン三重加群を導入し、C*-代数およびJB*-三重代数上の導分の自動連続性を確立する。主な結果として、実または複素のJB*-三重代数からその双対空間への任意の導分が連続であることを証明する。この結果により、2つの長年の未解決問題が解決される：C*-代数からバナッハ双加群またはジョルダン加群への任意のジョルダン導分は自動的に連続であり、したがってジョンソンの定理により導分であることが示される。

ABSTRACT

We introduce the notion of a Jordan triple module and determine the precise conditions under which every derivation from a JB*-triple E into a Banach (Jordan) triple E-module is continuous. In particular, every derivation from a real or complex JB*-triple into its dual space is automatically continuous. Among the consequences, we prove that every triple derivation from a C*-algebra A to a Banach triple A-module is continuous. In particular, every Jordan derivation from A to a Banach A-bimodule is a derivation, a result which complements a classical theorem due to B.E. Johnson and solves a problem which has remained open for over ten years.

研究の動機と目的

• C*-代数からバナッハ双加群への任意のジョルダン導分が自動的に連続であるかどうかという未解決問題を解決すること。
• 自動連続性の枠組みをジョルダン三重加群およびJB*-三重代数へ一般化すること。
• JB*-三重代数からその双対空間への任意の導分が連続であることを確立することにより、将来の弱アーメニティの研究を支援すること。
• 非可換かつ非結合的作用素代数における自動連続性に関する既存の結果を統一・拡張すること。
• 結合的およびジョルダン代数的状況を包含する、三重加群を用いた包括的な新フレームワークを提供すること。

提案手法

• ジョルダン三重加群の概念を導入し、ジョルダン代数およびC*-代数上のバナッハ加群の一般化として位置づける。
• JB*-三重代数 $E$ 上の導分を、すべての $a,b,c \in E$ に対して $\delta\{a,b,c\} = \{\delta(a),b,c\} + \{a,\delta(b),c\} + \{a,b,\delta(c)\}$ を満たす線形写像 $\delta$ として定義する。
• クンツの定理（補題19）を適用し、自己随伴 $h$ に対してすべてのアーベルC*-部分代数 $C(h)$ で連続な線形汎関数は、全体で連続であることを示す。
• 三重導分 $\delta$ をアーベルC*-部分代数 $C(h)$ に制限し、そこでは命題18により連続な写像となることを示す。
• 一様有界性原理とクンツの定理を用いて、各 $C(h)$ での連続性から $\delta$ の全体での連続性を導出する。
• この結果を応用し、C*-代数からバナッハ加群への任意のジョルダン導分が連続であることを示す。これはジョルダン導分が三重導分であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数からバナッハ双加群への任意のジョルダン導分は自動的に連続であるか？
• RQ2 JB*-三重代数からその双対空間への任意の導分は自動連続性を満たすか？
• RQ3 ジョルダン三重加群のより広い枠組みにおいて、導分の自動連続性を確立できるか？
• RQ4 JB*-三重代数からバナッハ三重加群への導分が連続であるための条件は何か？
• RQ5 ジョンソンの定理（連続なジョルダン導分は導分である）を、有界性の仮定を除いて強化できるか？

主な発見

• 実または複素のJB*-三重代数からその双対空間への任意の導分は自動的に連続である。
• C*-代数 $A$ からバナッハ三重 $A$-加群への任意の三重導分は、アーベル部分代数 $C(h)$ への制限によって連続であることが示され、連続性が保証される。
• C*-代数からジョルダンバナッハ $A$-加群への任意のジョルダン導分は連続であり、問題2が解決される。
• C*-代数からバナッハ $A$-双加群への任意のジョルダン導分は連続であり、問題1が解決され、ジョンソンの定理により導分であることが示される。
• 線形写像 $\delta: A \to X$ の連続性は、自己随伴 $h$ に対して各アーベルC*-部分代数 $C(h)$ での連続性と同値である（クンツの定理による）。
• バナッハ（ジョルダン）三重加群のクラスは、結合的、ジョルダン的、三重的系における導分の取り扱いを統一し、自動連続性の包括的フレームワークを提供する。