[論文レビュー] Automatic Counting of Restricted Dyck Paths via (Numeric and Symbolic) Dynamic Programming

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、数値的・記号的動的計画法を用いて、制限付きDyckパスを自動的に列挙する体系的な手法を提示する。Dyck.txt および DyckClever.txt という2つのMapleパッケージを導入し、特定のランゲンスやピーク/ボトムの高さ制約を避けるDyckパスの列挙列と代数的母関数、線形漸化式を生成する。これにより、KISS原理に従い、自動的に列挙式を発見できる。

ABSTRACT

Dyck paths are one of the most important objects in enumerative combinatorics, and there are many papers devoted to counting selected families of Dyck paths. Here we present two approaches for the automatic counting of many such families, using both a "dumb" approach (driven by numeric dynamic programming) that often works in practice, and a "clever" approach, needed for larger problems, driven by "symbolic" dynamic programming. Both approaches are fully automated and implemented in Maple.

研究の動機と目的

• さまざまな制約、例えば禁止されたランゲンスやピーク/ボトム高さ制約の下でのDyckパスの列挙を自動化すること。
• 「Keep It Simple Stupid」（KISS）原理が、概念的証明が複雑な場合でも、初期の列挙項からパターンを信頼性高く同定できるようにすることを示すこと。
• 手動の組合せ的洞察の必要性を減らすために、コンピュータにパス構造について再帰的に推論させる一般化された計算フレームワークの開発。
• 有限な制約を超えて、算術級数を用いて無限集合の禁止パターンを扱えるように、自動列挙の範囲を拡張すること。
• 正確な代数的方程式として母関数を導出する記号的動的計画法エンジンの提供により、推測された式の厳密な検証を可能にすること。

提案手法

• 数値的動的計画法（Dyck.txt経由）により、与えられた制約下で有効なDyckパスを再帰的に数えることで、列挙列の最初の多くの項を生成する。
• 記号的動的計画法（DyckClever.txt経由）により、記号的変数を用いた再帰的パス分解をモデル化することで、母関数の代数的方程式を構築する。
• この手法は、制限されたランゲンス（上行または下行）とピーク/ボトム高さ条件を持つ部分パスの合成としてDyckパスをモデル化する。
• Dyckパスの最初のステップに基づいて、再帰的関数方程式を導出し、初期のランが上行か下行かに応じて場合分けを行う。
• 無限個の禁止ランゲンスは、算術級数（例：奇数長さの場合は{2r+1}）として表現することで、記号的処理が可能になる。
• 再帰的分解により母関数方程式を導出する。例えば、H_{C,C1,D,D1}(x) = x * h_{C,C2,D,D2}(x) または特定の小さなランを除外する際の減算則を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のランゲンス（例：長さ2の上行ランや長さ3の下行ランを禁止）を避けるDyckパスの数を自動的に計算し、その母関数を導出できるか？
• RQ2 初期列挙項から式を推測するKISS原理は、組合せ的列挙においてどの程度厳密かつ自動化可能か？
• RQ3 記号的動的計画法を用いて、禁止されたピーク高さやランゲンスといった複雑な制約を持つDyckパスの母関数の正確な代数的方程式を導出できるか？
• RQ4 算術級数を用いて、無限個の禁止パターン（例：すべての奇数長さの上行ラン）をアルゴリズム的に符号化・処理できるか？
• RQ5 この手法を、同時に禁止された部分語、ランゲンス、高さ制約を避けるDyckパスに一般化できるか？

主な発見

• MapleパッケージDyck.txtは、禁止ランゲンスを持つDyckパスの列挙列の最初の100項を正確に計算でき、信頼性の高いパターン推測を可能にする。
• 上行ラン長2と下行ラン長3を禁止するDyckパスに対して、母関数Pは10次代数方程式を満たし、係数はxの多項式である。
• システムは、すべてのピーク高さが{1} ∪ 偶数であるDyckパスがMotzkinの漸化式を満たすことを正しく導出し、自動的手段によりRetakhの予想を確認した。
• DyckClever.txtによる記号的アプローチは、無限個の禁止ランゲンス（例：すべての奇数長さの上行ラン）を処理でき、母関数方程式 1 + (−x + 1)P + x²(x − 1)P³ = 0 を得た。
• この手法は、任意の有限または無限の禁止部分語の集合を同時に扱えるように一般化され、ランゲンスと高さ制約の組み合わせも含む。
• 上行ランがすべて奇数長、下行ランがすべて偶数長であるDyckパスの母関数方程式を正確に導出し、Pに関する6次代数方程式を得た。