[論文レビュー] Automatic generation of vertices for the Schroedinger functional

Shinji Takeda, Ulli Wolff|ArXiv.org|Sep 26, 2007

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、背景場を伴う非並進不変格子に対して、シュレーディンガー関数形（SF）フレームワーク内での自動的・再帰的な乗算アルゴリズムを提示する。この手法により、下からのアプローチが並進不変格子に限られていたのを拡張し、時間に依存する背景場を含むSF設定にも適用可能となる。この方法により、改良ゲージ作用素のための効率的な摂動的計算が可能となり、$T = L \pm a$ 格子におけるSF結合定数の1ループ結果および、格子スキームと$\overline{\text{MS}}$スキーム間の$\Lambda$パラメータ比が得られ、先行研究と整合的であることが示された。

ABSTRACT

We present a multiplication algorithm to recursively construct vertices for the Schroedinger functional in the abelian background field case. The algorithm is suited for automatic perturbative calculations with a variety of actions. As first applications, we derive ratios of the lambda parameters between the lattice scheme (improved gauge actions including six link loops) and the $\bar{ m MS}$ scheme, and one-loop results for the Schroedinger functional coupling with a lattice $T=L \pm a$, which is motivated by considering staggered fermions.

研究の動機と目的

• アーベル背景場を伴うシュレーディンガー関数形（SF）において、時間方向の並進不変性が境界条件および背景場によって明示的に破られる状況での、自動的・再帰的頂点生成アルゴリズムの開発。
• 従来、並進不変格子に限定されていた下からの頂点生成アルゴリズムを、明示的に時間依存する背景場を含むSF設定に拡張すること。
• プラケット、ウィルソン、イワサキ、DBW2、シマンジク型作用素を含む、複数の改良ゲージ作用素に対して、効率的な摂動的計算を可能とすること。
• $T = L \pm a$ 格子におけるSF結合定数の1ループ結果を計算すること。これはスタガードフェルミオン形式に動機づけられている。
• 複数の改良作用素に対して、格子スキームと$\overline{\text{MS}}$スキーム間の$\Lambda$パラメータ比を導出すること。

提案手法

• アルゴリズムは、格子経路に沿った並進作用素のテイラー展開係数の再帰的乗算により、頂点を下からの構築を行う。
• 頂点は、各々がインデックス構造$ (\alpha_k^1, \dots, \alpha_k^r) $と振幅$ f_k $を保持する、簡約化された頂点のリストとしてエンコードされる。色因子$ \mathcal{C}_{a_1 \cdots a_r} $は別個に分離される。
• インデックス構造の再ラベル化と、二項係数を用いた組み合わせ振幅の計算：$ \frac{r!}{s!(r-s)!} f_i' f_j'' $により、作用素の再帰的合成が可能となる。
• 非一様背景場に対応するため、時間依存位相因子$ \phi(x_0) $のための変種アルゴリズムを導出し、$T = L \pm a$ 格子において重要となる。
• このアルゴリズムは、プラケット、ウィルソン、イワサキ、DBW2、シマンジク型作用素を含む、改良ゲージ作用素の1ループSF結合定数の計算に適用された。
• 1ループSF結合定数の結果と既知の$ \Lambda_{\text{SF}} / \Lambda_{\overline{\text{MS}}} $値を組み合わせることで、$ \Lambda $パラメータ比が抽出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下からの頂点生成アルゴリズムは、境界条件および背景場によって時間並進不変性が明示的に破られるシュレーディンガー関数形に、どのように拡張可能か？
• RQ2 $T = L \pm a$ 格子における時間依存背景場を扱うために、頂点生成プロセスに必要な修正は何か？
• RQ3 $T = L \pm a$ 格子における6リンクループを伴う改良ゲージ作用素のSF結合定数の1ループ補正は何か？
• RQ4 複数の改良作用素に対して、格子スキームと$\overline{\text{MS}}$スキーム間の$\Lambda$パラメータ比は何か？
• RQ5 1ループ段階において、$T = L \pm a$ 格子と$T = L$ 格子の間で、ステップスケーリング関数の格子効果はどのように比較されるか？

主な発見

• アルゴリズムは、アーベル背景場を伴うSFにおける頂点生成に成功し、時間並進不変性が破れても自動的摂動的計算が可能となった。
• $T = L \pm a$ 格子におけるSF結合定数の1ループ結果は、標準的な$T = L$ケースと同程度の格子効果を示し、$O(a/L)$レベルで1からわずかにずれている。
• ステップスケーリング関数の相対的ずれ$ \delta^{(k)}_1(a/L) $が計算され、$s = \pm1$ および $s = 0$ の両方で小さく、同等の大きさであることが判明し、制御可能な効果であることが示された。
• イワサキ、DBW2、シマンジク型作用素を含む複数の改良ゲージ作用素について、$ \Lambda_{\text{Lat}} / \Lambda_{\overline{\text{MS}}} $の比が計算され、値は$0.167$から$44.21$の範囲にわたった。
• $ \Lambda_{\text{Lat}} / \Lambda_{\overline{\text{MS}}} $の結果は、先行研究と概ね整合的であるが、一部の先行研究では誤差推定が欠落しており、直接的な比較は制限される。
• 本手法は、改良ゲージ理論におけるSF結合定数の将来の2ループ計算のための堅実な基盤を提供する。