[論文レビュー] Automatic rational approximation and linearization of nonlinear eigenvalue problems

Pieter Lietaert, Javier J. Pérez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形固有値問題に対する自動的リーマン近似手法を提示する。AAAアルゴリズムを用いて有理関数補間を構築し、その有理関数補間をCompact Rational Krylov（CORK）手法と互換性のある状態空間表現により線形化する。本手法はNLEIGSに比べて極の数を少なく抑えつつ、競争力ある精度を達成し、ユーザーが極の選定を手動で行う必要がないため、最小限のユーザー入力で大規模問題を効率的に解くことが可能である。

ABSTRACT

We present a method for solving nonlinear eigenvalue problems using rational approximation. The method uses the AAA method by Nakatsukasa, S\\`{e}te, and Trefethen to approximate the nonlinear eigenvalue problem by a rational eigenvalue problem and is embedded in the state space representation of a rational polynomial by Su and Bai. The advantage of the method, compared to related techniques such as NLEIGS and infinite Arnoldi, is the efficient computation by an automatic procedure. In addition, a set-valued approach is developed that allows building a low degree rational approximation of a nonlinear eigenvalue problem. The method perfectly fits the framework of the Compact rational Krylov methods (CORK and TS-CORK), allowing to efficiently solve large scale nonlinear eigenvalue problems. Numerical examples show that the presented framework is competitive with NLEIGS and usually produces smaller linearizations with the same accuracy but with less effort for the user.

研究の動機と目的

• 非線形固有値問題における有理近似の完全自動化手法の開発を目的とし、複素解析の専門知識や関数固有のチューニングを必要としないこと。
• NLEIGSなどの既存手法と比較して、特に複数の非線形項を含む問題において、有理近似の極の数を削減すること。
• 有理近似をCompact Rational Krylov（CORK）フレームワークに統合し、大規模固有値計算を効率的に行えるようにすること。
• 係数行列に低ランク仮定を課さずに、行列関数における低ランク構造の利用を可能とすること。
• AAAを用いた集合値有理近似が、個別近似やポテンシャル論に基づく手法に比べ、近似次数および収束性の面で優れていることを示すこと。

提案手法

• ユーザーが定義した集合上で、非線形行列関数の有理近似をAAAアルゴリズムを用いて自動的に計算し、ユーザーの入力なしに極と零点の位置を適応的に調整する。
• SuとBai（2011）の状態空間表現を適用し、得られた有理関数固有値問題をKrylovソルバーに適した標準形に線形化する。
• 複数の非線形関数に共通する極と補間点を共有する集合値近似戦略を採用し、効率性を向上させるとともに総次数を削減する。
• 線形化問題をCORK（Compact Rational Krylov）フレームワークに統合し、有理Krylov再利用を用いて大規模問題を効率的に解く。
• フルランクおよび低ランクの係数行列の両方に対して同一の線形化構造を用いることで、低ランク構造が存在する場合にその利用を可能にする。
• 実軸上の複数のシフトを用いたKrylov法によりリッツ固有値を計算し、残差許容誤差10−12の範囲で収束をモニタリングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AAAアルゴリズムは、分野特有の知識や手動での極の選定を必要とせずに、非線形固有値問題に対する有理近似を効果的に自動構築できるか？
• RQ2 複数の非線形関数を含む問題において、AAAを用いた集合値有理近似の近似次数および収束性は、NLEIGSと比べてどのように異なるか？
• RQ3 CORKフレームワークは、有理近似から生じる大規模非線形固有値問題をどれほど効率的に解けるか？
• RQ4 Leja–Bagbyのようなポテンシャル論に基づく手法と比較して、本手法は極の数を減らしながらも高い精度を維持できるか？
• RQ5 分岐点や非有界な振る舞いを示す複雑な特異点を有する実世界の問題、例えば車両キャビティモデルに対して、本手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 車両キャビティ問題において、特異点や分岐カットが存在する中で、AAAベースの有理近似は42個の極で相対誤差10−13を達成した。
• 最初の特異点514i以下の小さなテスト領域では、AAAは11個の極で10−12の精度に到達したが、Leja–Bagby極は40個を必要とした。
• リッツ固有値の収束はAAAとLeja–Bagbyの両手法で同等であり、両者とも約30〜40回のKrylov反復で残差ノルムが10−12未満に達した。
• 集合値AAAアプローチは、テストされたすべてのケースでNLEIGSよりも小さな有理近似を生成し、精度の低下なしに実現した。
• AAAアルゴリズムが極と補間点の選定を完全に自動化したため、NLEIGSに比べて著しく少ないユーザー作業で実現可能であった。
• SuとBaiの状態空間表現による線形化はCORKフレームワークと完全に互換性があり、大規模問題の効率的解法を可能にした。