[論文レビュー] Automatic regularization by quantization in reducible representations of CCR: Point-form quantum optics with classical sources in the Milne universe

Marek Czachor, Klaudia Wrzask|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2008

Quantum Mechanics and Applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、CCRの縮約可能な表現を用いてミルン宇宙における電磁場の明示的共変な量子化を提案する。ここでゲージ場は光子と2つの質量なしスカラーに分解される。点形式ハミルトニアンによるユニタリなダイナミクスは、自動的なUV/IR正則化をもたらし、真空がボーズ・アインシュタイン凝縮であることを示し、コherent状態から古典的電磁力学が回復される。Rényi型（α = 1 − 1/N）の非ポisson的光子統計が得られる。

ABSTRACT

Electromagnetic fields are quantized in manifestly covariant way by means of a class of reducible representations of CCR. $A_a(x)$ transforms as a Hermitian four-vector field in Minkowski four-position space (no change of gauge), but in momentum space it splits into spin-1 massless photons (optics) and two massless scalars (similar to dark matter). Unitary dynamics is given by point-form interaction picture, with minimal-coupling Hamiltonian constructed from fields that are free on the null-cone boundary of the Milne universe. SL(2,C) transformations and dynamics are represented unitarily in positive-norm Hilbert space describing $N$ four-dimensional oscillators. Vacuum is a Bose-Einstein condensate of the $N$-oscillator gas. Both the form of $A_a(x)$ and its transformation properties are determined by an analogue of the twistor equation. The same equation guarantees that the subspace of vacuum states is, as a whole, Poincare invariant. The formalism is tested on quantum fields produced by pointlike classical sources. Photon statistics is well defined even for pointlike charges, with UV/IR regularizations occurring automatically as a consequence of the formalism. The probabilities are not Poissonian but of a Renyi type with $\alpha=1-1/N$. The average number of photons occurring in Bremsstrahlung splits into two parts: The one due to acceleration, and the one that remains nonzero even if motion is inertial. Classical Maxwell electrodynamics is reconstructed from coherent-state averaged solutions of Heisenberg equations. Static pointlike charges polarize vacuum and produce effective charge densities and fields whose form is sensitive to both the choice of representation of CCR and the corresponding vacuum state.

研究の動機と目的

• CCRの縮約可能な表現を用いて、ミルン宇宙における電磁場の明示的共変な量子化を展開すること。
• この形式において、点源を伴う量子電磁力学におけるUV/IR発散を、形式的内在の正則化によって解決すること。
• 最小結合に基づく点形式相互作用図式に立脚したユニタリなダイナミクスフレームワークを構築すること。
• 真空がN個の4次元振動子系のボーズ・アインシュタイン凝縮であることを示し、ポincare不変性を保つこと。
• ハイゼンベルク方程式のcoherent状態平均化から古典的マクスウェル電磁力学を再構成すること。

提案手法

• ミンコフスキー位置空間におけるヒルベルト空間に、CCRの縮約可能な表現を用いて、電磁場$A_a(x)$をヒルベルト型4元ベクトル場として量子化する。
• 場を運動量空間に変換すると、スピン1の光子と2つの質量なしスカラー状態に分解され、ダークマターに類似する。
• ミルン宇宙の光錐境界上で有効な点形式相互作用図式における最小結合ハミルトニアンを構築する。
• SL(2,C)変換とダイナミクスを、N個の4次元振動子の正規ノルムヒルベルト空間上でユニタリに表現する。
• twistor方程式の類似物を用いて、$A_a(x)$の変換性を決定し、真空部分空間のポincare不変性を保証する。
• 場演算子の真空期待値から光子統計を計算し、パrameter $\alpha = 1 - 1/N$ を持つRényi型統計に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CCRの縮約可能な表現を用いた場合、ミルン宇宙における電磁場をどのように一貫的に明示的共変に量子化できるか？
• RQ2 この形式において、点源を伴う量子電磁力学で自動的なUV/IR正則化が生じる原因は何か？
• RQ3 この枠組みにおける真空状態の振る舞いはいかなるものか？ また、ポincare変換に対して不変であるか？
• RQ4 古典的点源から生成される光子の統計的分布は何か？ これはポisson統計からどのように逸脱するか？
• RQ5 coherent状態平均化によるハイゼンベルク方程式の解から、古典的マクスウェル電磁力学を再構成できるか？

主な発見

• この形式により、外部のカットオフを用いずに、点源から生成される量子場における自動的なUV/IR正則化が得られる。
• 光子統計はパrameter $\alpha = 1 - 1/N$ を持つRényi型である。これは標準的量子光学とは異なる非ポisson的挙動を示す。
• ブレムストラーリングで放出される光子の平均数は、加速度に起因する成分と、慣性運動時にも残存する別の成分に分解される。
• 真空はN振動子系のボーズ・アインシュタイン凝縮として特定され、真空部分空間におけるポincare不変性が保たれる。
• 静的な点源電荷は真空を極化させ、その結果、有効な電荷密度および電場が生成される。その形態はCCR表現および真空状態に依存する。
• 古典的マクスウェル電磁力学は、ハイゼンベルク方程式のcoherent状態平均化解から、うまく再構成される。