[論文レビュー] Automatic Theorem Proving in Walnut

Mousavi, Hamoon|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2016

semigroups and automata theory参考文献 13被引用数 54

ひとこと要約

この論文では、有限オートマトンとプレスバーガー算術を用いて、自動語の組合せ的性質を機械的に検証するための意思決定手順を実装するソフトウェアシステムWalnutを提示する。ユーザーは論理的述語を符号化し、オートマトンを用いて算術および語の操作を扱い、評価、定義、証明の自動化のためのコマンドラインインターフェースを提供することで、Thue-Morse語やペーパーフォールディング語のような系列に関する定理を自動的に証明できる。

ABSTRACT

Automatic structures are structures whose universe and relations can be represented as regular languages. It follows from the standard closure properties of regular languages that the first-order theory of an automatic structure is decidable. While existential quantifiers can be eliminated in linear time by application of a homomorphism, universal quantifiers are commonly eliminated via the identity ∀x.Φ≡¬(∃x.¬Φ). If Φ is represented in the standard way as an NFA, a priori this approach results in a doubly exponential blow-up. However, the recent literature has shown that there are classes of automatic structures for which universal quantifiers can be eliminated by different means without this blow-up by treating them as first-class citizens and not resorting to double complementation. While existing lower bounds for some classes of automatic structures show that a singly exponential blow-up is unavoidable when eliminating a universal quantifier, it is not known whether there may be better approaches that avoid the naïve doubly exponential blow-up, perhaps at least in restricted settings. In this paper, we answer this question negatively and show that there is a family of NFA representing automatic relations for which the minimal NFA recognising the language after eliminating a single universal quantifier is doubly exponential, and deciding whether this language is empty is ExpSpace-complete.

研究の動機と目的

• 研究者が自動系列の組合せ的性質を自動的に検証できる実用的でアクセスしやすいツールを提供すること。
• オートマトンに基づくインデックス化およびコール機構を用いて、プレスバーガー算術を自動語のサポートに拡張すること。
• 解析、オートマトン構築、および最小化を含む、語の組合せ論における機械的定理証明のための完全なソフトウェアスタックを実装すること。
• ドメイン固有のコマンド言語を通じて、ユーザーがカスタム数体系、自動語、および述語を定義できるようにすること。
• ユーザー定義のオートマトン、数体系、およびGraphvizなどの外部ツールとの統合を通じて拡張性をサポートすること。

提案手法

• 自動語上の述語を有限オートマトンで表現し、状態が論理的条件を符号化し、遷移が語の構造を符号化する。
• 部分述語用のオートマトンを組み合わせるためのクロス積構成を用い、論理演算（論理積や量化）を可能にする。
• 自動系列のインデックス化およびコール操作をサポートするため、プレスバーガー算術に拡張するための意味的ルールを導入する。
• `eval`、`def`、`macro`、`reg`、`load` などの高レベルコマンドを備えたコマンドラインインターフェースを実装し、インタラクティブな定理証明を可能にする。
• 入力、出力、遷移（ワイルドカードおよびデッドステートを含む）を構造化された構文で記述したテキストファイルを用いて、ユーザー定義のオートマトンをサポートする。
• Valmariの最小化アルゴリズムとGraphviz統合を活用し、効率的な状態削減およびオートマトンの可視化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限オートマトンを用いて、自動語の性質を体系的に検証する意思決定手順をどのように実装できるか？
• RQ2 自動系列のインデックス化およびコール操作をサポートするため、プレスバーガー算術に必要な意味的拡張は何か？
• RQ3 カスタム数体系、自動語、論理的述語をサポートするため、ユーザー拡張可能なシステムをどのように設計できるか？
• RQ4 オートマトンの最小化および正規表現コンパイルは、パフォーマンスと正しさを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 組合せ論の研究者にとって使いやすく、かつ形式的に整合性のあるシステムをどのように構築できるか？

主な発見

• Walnutは、平方の不在や特定の部分語の存在といった、自動系列の複雑な組合せ的性質の検証を成功裏に自動化した。
• ユーザー定義のオートマトンファイルを通じて、新しい数体系（例：msd, lsd）や自動語（例：Thue-Morse, paperfolding）の定義をサポートする。
• Valmariの最小化アルゴリズムの統合により、オートマトンのサイズが顕著に削減され、パフォーマンスとスケーラビリティが向上した。
• `eval` や `def` コマンドにより、ユーザーは自動語上の論理的述語をテスト・定義でき、結果はブールオートマトンとして返される。
• Graphvizを介したオートマトン記述の視覚的フォーマットへの変換をサポートし、解釈性およびデバッグ性が向上した。
• `load` コマンドによりユーザー定義のオートマトンを読み込めるため、再現可能でモジュラーな定理証明ワークフローが実現された。