[論文レビュー] Automating Boundary Filling in Cubical Agda

Dimitri Ara, Albert Burroni+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

この独著は、厳密な高次圏における高次元リライト理論の統合的枠組みとしてポリグラフを発展させ、ストリングリライトを高次元に一般化する。厳密な高次圏におけるフォールクモデル構造を確立し、ポリグラフがコフibrントであることを証明し、これらの道具を用いて代数的構造の整合性およびホモロジー的不変量を計算する。

ABSTRACT

Homotopy type theory is a logical setting based on Martin-Löf type theory in which one can perform geometric constructions and proofs in a synthetic way. Namely, types can be interpreted as spaces (up to continuous deformation) and proofs as homotopy invariant constructions. In this context, loop spaces of pointed connected groupoids provide a natural representation of groups, and any group can be obtained as the loop space of such a type, which is then called a delooping of the group. There are two main methods to construct the delooping of an arbitrary group G. The first one consists in describing it as a pointed higher inductive type, whereas the second one consists in taking the connected component of the principal G-torsor in the type of sets equipped with an action of G. We show here that, when a presentation is known for the group, simpler variants of those constructions can be used to build deloopings. The resulting types are more amenable to computations and lead to simpler meta-theoretic reasoning. We also investigate, in this context, an abstract construction for the Cayley graph of a generated group and show that it encodes the relations of the group. Most of the developments performed in the article have been formalized using the cubical version of the Agda proof assistant.

研究の動機と目的

• ポリグラフを統合的枠組みとして用いて、リライト理論の高次元一般化を発展させること。
• 厳密な高次圏における整合性のためのホモトピー代数的基盤を確立すること。
• ポリグラフが厳密な高次圏におけるフォールクモデル構造内でのコフibrント対象であることを証明すること。
• これらの道具を用いて代数的構造の整合性およびホモロジー的不変量を計算すること。
• モノイド圏および2圏における整合性結果を導出するためのアルゴリズム的かつ計算的手段を提供すること。

提案手法

• n-ポリグラフを厳密n-圏の提示として用い、有向グラフおよびストリングリライトを一般化する。
• ホモトピー代数を適用して、厳密な高次圏の圏におけるフォールクモデル構造を定義する。
• ポリグラフのコフibrャンスを活用して、ポリグラフィック解体をコフibrント置換として構成する。
• 収束するポリグラフィック系とティーツェ変換を用いて、整合的提示の概念を導入する。
• 理論をモノイド、ブレード群、フロベニウス代数などの具体的な代数的構造に適用する。
• ホモロジー代数を用いて、関係の間の同一式とシジージモジュール、および有限導出型の関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてポリグラフを用いてリライト理論を高次元に一般化できるか？
• RQ2 ポリグラフは厳密な高次圏のホモトピー理論において果たす役割は何か？
• RQ3 収束するポリグラフィック系から代数的構造の整合性定理をどのように導出できるか？
• RQ4 有限導出型とホモロジー的有限性性質の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 分配則および項リライト系は3-ポリグラフ以降へどのように拡張できるか？

主な発見

• フォールクモデル構造における厳密な高次圏上でのポリグラフがコフibrント対象であることが示された。
• Cat𝜔におけるフォールクモデル構造が構成され、ファイブレーション対象は上昇性質によって特徴づけられた。
• 2-圏の整合的提示は、収束する3-ポリグラフおよび整合的完成手順によって特徴づけられた。
• 理論は、モノイドおよび圏における関係の間の同一式とホモロジー的シジージの間の関係を確立した。
• ポリグラフィック解体が高次圏のアーベル化を計算でき、ホモロジー的有限性性質と関係していることが示された。
• 本独著は、アービンモノイド、プララックモノイド、バイ代数などの構造における整合性およびホモロジー的不変量を計算するためのアルゴリズム的手法を提供した。