[論文レビュー] Automorphic forms and cubic twists of elliptic curves

Daniel Lieman|ArXiv.org|Jul 12, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、楕円曲線の立方根変形族 $E_D: x^3 + y^3 = D$ と $
\mathrm{GL}(3)$ の立方被覆上のメタプレクティック自動形式の間の接続を確立し、その形式のホイッタッカー＝フーリエ係数が曲線 $E_{m^2n}$ の $L$-級数を符号化することを示している。主な結果は、任意の素数 $p \neq 3$ および $p$ を法とする任意の剰余類 $c$ に対して、$E_D$ が有理点を持たないような $D \equiv c \mod p$ となる整数 $D$ が無限に存在することを証明している。

ABSTRACT

This paper surveys the connection between the elliptic curve E_D: x^3 + y^3 = D and a certain metaplectic form on the cubic cover of GL(3) which has the property that its m,n^{th} Whittaker--Fourier coefficient is essentially the L--series of the curve E_{m^2n}. One may obtain information about the collective behavior the curves E_D by exploiting this connection; for example, one can prove: Theorem: Fix any prime p e 3, and any congruence class c mod p. Then there are infinitely many D congruent to c mod p such that the curve E_D has no rational solutions. This paper is fairly self-contained; no prior knowledge of algebraic number theory, analytic number theory or metaplectic forms is assumed. On the other hand, this paper is a survey, no proofs are included.

研究の動機と目的

• 曲線族 $E_D: x^3 + y^3 = D$ の立方根変形における統合的算術的性質を調査すること。
• これらの曲線と $
  \mathrm{GL}(3)$ の立方被覆上の自動形式、特にホイッタッカー＝フーリエ係数を通じての深い接続を確立すること。
• この自動形式的枠組みを用いて、曲線族のグローバルな算術的性質（例えば有理点の分布）を導出すること。
• 任意の素数 $p \neq 3$ および任意の剰余類 $c \mod p$ に対して、$E_D$ が有理解を持たないような $D \equiv c \mod p$ となる整数 $D$ が無限に存在することを証明すること。

提案手法

• 非自明な中心拡大を持つ高ランク群への一般化として、$
  \mathrm{GL}(3)$ の立方被覆上のメタプレクティック自動形式を用いる。
• メタプレクティック形式の $m,n^{\text{th}}$ ホイッタッカー＝フーリエ係数が、楕円曲線 $E_{m^2n}$ の $L$-級数に対応することに依拠する。
• 立方根変形の理論を用いて、$D \in \mathbb{Q}^\times / \mathbb{Q}^{\times 3}$ をパrameterとして曲線族 $E_D$ をパrameter化し、$L$-関数の均一な取り扱いを可能にする。
• 自動形式および $L$-関数論からの解析的技法を用いて、明示的な点計算を必要とせずに曲線族のグローバルな性質を導出する。
• 代数的・解析的整数論の先行知識を仮定せず、非専門家にもアクセス可能な自己完結的な枠組みを提供する。
• 立方被覆の構造を用いて、1つの自動形式的対象のフーリエ係数に曲線 $E_D$ の算術的性質を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $
  \mathrm{GL}(3)$ の立方被覆上の自動形式における、立方根変形族 $E_D: x^3 + y^3 = D$ の $L$-関数はどのように符号化されるか？
• RQ2 曲線族 $E_D$ 全体における有理点の集合的挙動は、自動形式的手法によって調べられるか？
• RQ3 素数 $p \neq 3$ に対して、$E_D$ が有理点を持たないような $D$ の $p$ を法とする分布について何が言えるか？
• RQ4 すべての曲線 $E_{m^2n}$ の算術的性質を反映する、一様な自動形式的対象が存在するか？
• RQ5 この自動形式的対応を通じて、$L$-関数の非零または零の有無が、$E_D$ における有理点の存在と結びつけられるか？

主な発見

• 任意の素数 $p \neq 3$ および任意の剰余類 $c \mod p$ に対して、曲線 $E_D: x^3 + y^3 = D$ が有理点を持たないような整数 $D \equiv c \mod p$ が無限に存在する。
• 特定の $
  \mathrm{GL}(3)$ の立方被覆上のメタプレクティック形式の $m,n^{\text{th}}$ ホイッタッカー＝フーリエ係数は、本質的に楕円曲線 $E_{m^2n}$ の $L$-級数に一致し、明確な自動形式的接続を確立する。
• 自動形式は、曲線族 $E_D$ 全体を一様に研究する枠組みを提供し、統合的算術的解析を可能にする。
• この方法は自己完結的であり、代数的・解析的整数論の先行知識を必要とせず、広範な聴衆にアクセス可能である。
• この結果は、有理点の不在が、$p \neq 3$ における算術的等差数列において、正の密度で発生することを示しており、散発的ではないことを示している。
• 立方根変形族とメタプレクティック形式との接続は、これらの曲線の $L$-関数に隠れた対称性を明らかにし、より深い算術的＝自動形式的双対性の可能性を示唆する。