[論文レビュー] Automorphic Forms, Cohomology and CAP Representations. The Case $GL_2$ over a definite quaternion algebra

Harald Grobner|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$GL_2$ の定値的ハミルトニアン代数 $D/\mathbb{Q}$ 上における擬尖点およびイーゼンスタインコホモロジーを完全に記述し、グローバル・ジャケット＝ラングランズ対応を用いた関手性により、強力な乗法一意性を満たす $GL_2$ であっても、1次および4次においてコホモロジカル CAP-表現の存在を示している。すべての次数においてコホモロジーの非消滅性を確立し、臨界 $L$-値の有理数性を裏付けるために、相互作用作用素の非消滅結果を提供している。

ABSTRACT

In this paper we fully describe the cuspidal and the Eisenstein cohomology of the group $G=GL_2$ over a definite quaternion algebra $D/\Q$. Functoriality is used to show the existence of residual and cuspidal automorphic forms, having cohomology in degree 1. The latter ones turn out to be CAP-representations, though $G$ satisfies Strong Multiplicity One. A non-vanishing result on intertwining operators of induced representations will serve as a starting point for further investigations concerning rationality of critical $L$-values.

研究の動機と目的

• 定値的ハミルトニアン代数 $D/\mathbb{Q}$ 上の $GL_2$ の尖点およびイーゼンスタインコホモロジーを完全に記述すること。
• 強力な乗法一意性を満たすにもかかわらず、1次において残渣的および尖点的自動形式がコホモロジーを持つことを確立すること。
• ねじれアーチュール・トレース公式と関手性を用いて、2次および3次において尖点コホモロジーの非消滅性を証明すること。
• 臨界 $L$-値の有理数性に関する結果の基盤とするために、相互作用作用素に関する非消滅結果を提供すること。

提案手法

• $GL_2(D)$ から $GL_4(\mathbb{A})$ へのグローバル・ジャケット＝ラングランズ対応を用いて、コホモロジーを持つ残渣的および尖点的自動形式表現を構成すること。
• ラングランズ＝シャーディー法の適用および、グルバックの研究を用いた非一般的で分割可能な場所でさえも、相互作用作用素の正規化を行うこと。
• 適切に選ばれたテスト関数を用いたねじれアーチュール・トレース公式を用いて、2次および3次における尖点コホモロジーの非消滅性を検出すること。
• レフシェッツ数および単純なトレース公式を用いて、幾何的側の正値性を保証し、所望の無限小特性を持つ尖点表現の存在を示すこと。
• 結果 [15] および [13] を用いて、分割可能な場所における局所成分に還元することで、グローバル相互作用作用素の正規化を実行すること。
• $D^* \times D^*$ のリーマン部分群の尖点的自動形式表現を分類し、それらが残渣的イーゼンスタイン級数をもたらす条件を、相互作用作用素の極に基づいて特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定値的ハミルトニアン代数上の $GL_2$ の尖点およびイーゼンスタインコホモロジーの完全な構造は何か？
• RQ2 強力な乗法一意性を満たすにもかかわらず、定値的ハミルトニアン代数上の $GL_2$ に対してコホモロジカル CAP-表現が存在しうるか？
• RQ3 どのような条件下で、1次において非自明な残渣的イーゼンスタインコホモロジーが生じるか？
• RQ4 トレース公式の技法を用いて、2次および3次における尖点コホモロジーの非消滅性をどのように確立できるか？
• RQ5 これらのコホモロジー類の臨界 $L$-値の有理数性において、相互作用作用素はどのような役割を果たすか？

主な発見

• 定値的ハミルトニアン代数上の $GL_2$ のイーゼンスタインコホモロジーは完全に記述されており、1次において非消滅するための必要十分条件は、残渣的自動形式表現が存在することである。
• 1次および4次において尖点コホモロジー類が存在し、それらは非温度的無限小成分を持つものであり、強力な乗法一意性にもかかわらず CAP-表現であることが示されている。
• すべての自己双対的、非可約的、有限次元複素表現 $E$ に対して、$G(\mathbb{R})$ 上で最高ウェイト $\lambda \neq k\omega_2$, $k \geq 0$ を満たすものについて、ねじれアーチュール・トレース公式を用いて、2次および3次において尖点コホモロジーが非消滅であることを示している。
• グローバル・ジャケット＝ラングランズ対応を用いて、1次における残渣的自動形式表現の存在を証明し、$GL_4$ からの明示的構成によってそれらを実際に構成している。
• 相互作用作用素に関する非消滅結果を確立し、将来の臨界 $L$-値の有理数性に関する研究の基盤としている。
• 尖点コホモロジー類は、対 $(q, 5-q)$ として対称的に分布しており、1次および4次は非温度的無限小成分に対応し、2次および3次は温度的成分に対応している。