[論文レビュー] Automorphism group of a toric variety

M. T Sancho, J. P. Moreno+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性が0の代数閉体上の完全なトーリック多様体の自己同型群を完全に特定する。恒等成分 $\mathrm{Aut}_k^0X$ は、除法類に添えられたアドティヴ群の積からなるユニポテンツ根拠と、一般線形群の積の再帰的商である再帰的商の半直積であることを示す。作用則は明示的である。有限商 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ は、ファングを保存する格子の自己同型群を、線形同値類ごの対称群で割った群に同型である。

ABSTRACT

We calculate the automorphism group of a complete toric variety $X$ with torus $T_M$. We prove that the radical unipotent of $Aut_k^0X$ is a semidirect product of additive groups, the reductive part is a quotient of a product of lineal groups and we give the action of linear groups on the additive groups. We also prove that $Aut_kX/Aut_k^0X$ is a quotient of the group of automorphisms of $M$ leaving invariant the fan.

研究の動機と目的

• 与えられたトウス作用を持つ完全なトーリック多様体の自己同型群を完全に特定すること。
• 恒等成分 $\mathrm{Aut}_k^0X$ をユニポテンツ根拠と再帰的部分群の半直積に分解すること。
• 再帰的群がユニポテンツ根拠上に与える作用を、非可約表現によって記述すること。
• 有限商 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ を、ファングを保存する格子自己同型群の商として特徴付けること。

提案手法

• コックス環の階数付き自己同型群との同一視により $\mathrm{Aut}_k^0X$ を特定する。
• ファングの線形同値類 $F$ に添えられた加法群 $V_F$ の半直積としてユニポテンツ根拠を構成する。
• 各 $V_F$ 上に作用する再帰的部分群 $\mathrm{GL}_F$ を定義し、ルート系を介して作用を符号化する。
• 線形同値類の集合 $W$ に導入された半順序を用いて、ユニポテンツ根拠の半直積構造を定義する。
• $\mathrm{Aut}_k^0X$ の再帰的部品が、積 $\prod_F \mathrm{GL}_F$ の商であることを証明し、$\mathrm{GL}_F$ が $V_F$ 上に非可約表現によって作用することを示す。
• $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ が $\mathrm{Aut}_\Delta M / (S_1 \times \cdots \times S_k)$ に同型であることを示す。ここで $\mathrm{Aut}_\Delta M$ はファングを保存する格子自己同型群であり、$S_i$ は各線形同値類上での対称群である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なトーリック多様体の自己同型群の恒等成分 $\mathrm{Aut}_k^0X$ の構造は何か？
• RQ2 ファングの線分と除法類から、$\mathrm{Aut}_k^0X$ のユニポテンツ根拠はどのように構成されるか？
• RQ3 再帰的部分群のユニポテンツ根拠上への作用は何か？ そして、それがどのように表現として実現されるか？
• RQ4 $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ は、格子 $M$ のファングを保存する自己同型とどのように関係するか？
• RQ5 対称群 $S_i$ は、全自己同型群の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• ユニポテンツ根拠 $\mathrm{Aut}_k^0X$ は、線形同値類 $F$ に添えられた加法群 $V_F$ の半直積に同型であり、$W$ 上の半順序によって順序付けられている。
• $\mathrm{Aut}_k^0X$ の再帰的部品は、積 $\prod_F \mathrm{GL}_F$ の商に同型であり、ここで $\mathrm{GL}_F$ は対応する $V_F$ 上に作用する。
• $\mathrm{GL}_F$ が $V_F$ 上に与える作用は、クラス $F$ に関連するルート系によって明示的に定義された非可約表現である。
• $\mathrm{Aut}_kX / \mathrm{Aut}_k^0X$ は、$\mathrm{Aut}_\Delta M / (S_1 \times \cdots \times S_k)$ に同型であり、ここで $\mathrm{Aut}_\Delta M$ はファングを保存する格子自己同型群である。
• 各線形同値類 $F_i$ 上の対称群 $S_i$ は、コックス環における対応する変数の置換を介して、$\mathrm{Aut}_k^0X$ の部分群として実現される。
• $\mathrm{Aut}_kX$ の自己同型群は、ファングと格子 $M$ によって完全に決定され、有限部はファングの組合せ的対称性に由来する。