[論文レビュー] Automorphism groups of compact complex surfaces

Yuri Prokhorov, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意のコンpact複素曲面の自己同型群がジョーダン的であることを確立している。つまり、任意の有限部分群が有界な指数の正規アーベル部分群をもつことである。さらに、双有理自己同型群は、曲面が楕円曲線と射影直線の積に双有理同型でない限りジョーダン的であることが示されている。この結果は、複素幾何における非特徴的かつ高次元の設定へのジョーダン性質の拡張をもたらす。

ABSTRACT

We study automorphism groups and birational automorphism groups of compact complex surfaces. We show that the automorphism group of such surface $X$ is always Jordan, and the birational automorphism group is Jordan unless $X$ is birational to a product of an elliptic and a rational curve.

研究の動機と目的

• コンパクト複素曲面の自己同型群のジョーダン性質を特定すること。
• 双有理自己同型群がジョーダン的でないコンパクト複素曲面を分類すること。
• ジョーダン性質を特徴的多様体から非特徴的および一般のコンパクト複素曲面へ拡張すること。
• これらの群の有限部分群の生成元と指数に関する有界性を確立すること。

提案手法

• エヌリケス＝コダイラ分類を用いて、双有理型とコダイラ次元ごとに曲面を分析する。
• 表現論を用いて線型代数的群およびその部分群へのジョーダン性質の応用。
• 最小曲面のケース・バイ・ケース分析：有理曲面、ルールド曲面、クラスVII、K3、エンリケス、双楕円曲面、コダイラ曲面、一般型曲面。
• 既知の特定曲面（例：稲井、コダイラ、K3）の自己同型群に関する結果を群論的境界で拡張する。
• 完全列とファイバーごとの作用を用いてルールド曲面の双有理自己同型群を分析する。
• 先行研究（例：[PS14], [MZ18]）からの有界性結果を用いて、生成元と指数の観点から有限部分群を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素曲面の自己同型群がいつジョーダン的か？
• RQ2 どのコンパクト複素曲面が非ジョーダン的双有理自己同型群をもつか？
• RQ3 ジョーダン性質を特徴的から非特徴的コンパクト複素曲面へ拡張できるか？
• RQ4 コンパクト複素曲面の双有理自己同型群の有限部分群の生成元数に一様な上限は存在するか？
• RQ5 異なるクラスのコンパクト複素曲面における自己同型群の構造はどのように変化するか？

主な発見

• 任意のコンパクト複素曲面の自己同型群は、特徴的かどうかに関係なくジョーダン的である。
• 双有理自己同型群が非ジョーダン的であるのは、曲面が楕円曲線と射影直線の積に双有理同型である場合に限る。
• E×P¹に双有理同型でないすべてのコンパクト複素曲面において、双有理自己同型群の有限部分群は、指数および生成元数の観点で有界である。
• 任意のコンパクト複素曲面の自己同型群の有限部分群は、R(X) 個以下の生成元で生成可能であり、R(X) はXにのみ依存する。
• ジョーダン性質は、特徴的でないクラスVII曲面（b2 > 0 を満たすもの）を含むすべての最小曲面に一様に成り立つ。
• 本結果は、特徴的多様体およびケーラー多様体に関する先行定理を、コンパクト複素曲面の全クラスへ一般化する。