[論文レビュー] Automorphism groups of edge-transitive maps

Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、グラーヴァーとウォーキンズが定義した14の異なるクラスに基づいて、辺推移的マップの自己同型群として現れる有限群（特に対称群、交代群、射影特異線型群）を分類する。代数的および位相的手法を用いて、各クラスにおける群の実現の必要十分条件を確立し、ほとんどのクラスではすべての十分に大きな対称群や交代群が実現可能であることを示している。また、すべての十分に大きな可解群や冪零群、および非可算無限群も実現可能である。

ABSTRACT

For each of the 14 classes of edge-transitive maps described by Graver and Watkins, necessary and sufficient conditions are given for a group to be the automorphism group of a map, or of an orientable map without boundary, in that class. Extending earlier results of Siran, Tucker and Watkins, these are used to determine which symmetric groups $S_n$ can arise in this way for each class. Similar results are obtained for all finite simple groups, building on work of Leemans and Liebeck, Nuzhin and others on generating sets for such groups. It is also shown that each edge-transitive class realises finite groups of every sufficiently large nilpotence class or derived length, and also realises uncountably many non-isomorphic infinite groups. Edge-transitive embeddings of complete graphs are classified, and there is a detailed discussion of edge-transitive maps with boundary.

研究の動機と目的

• 14の辺推移的マップのクラスのそれぞれについて、有限群がそのクラスのマップの自己同型群として実現可能となる必要十分条件を特定すること。
• Širáň, Tucker, Watkins らの先行研究を拡張し、各クラスにおける対称群 $S_n$ がどのようになるかを完全に特徴づけること。同様に交代群 $A_n$ および $L_2(q)$ の場合についても同様に特徴づけること。
• 有限単純群の実現可能性を調査し、Leemans, Liebeck, Nuzhin らの研究をもとに、すべての十分に大きな冪零群または可解群が各クラスで実現可能であることを示すこと。
• 各辺推移的クラスが非同型な無限群を非可算個実現することを示し、そのような群の埋め込みおよび成長性質を確立すること。

提案手法

• グラーヴァーとウォーキンズによる、商マップ $\mathcal{M}/\mathrm{Aut}\,\mathcal{M}$ の同型型に基づく辺推移的マップの14クラス分類を用いる。
• マップ理論における代数的技法を適用し、モノドロミー群およびフラグ上での自己同型群の作用に寄与する生成元 $r_i$, $s_i$ を用いる。
• 特に正則でない場合に有効な中間マップ構成 $\mathcal{M}^{\rm med}$ を用いて、元のマップと導出マップの自己同型群を関連付ける。
• Leemans, Liebeck, Nuzhin らの有限単純群の生成集合に関する群論的結果を応用し、実現条件を特定する。
• オイラー乗数 $\chi$ や可定向性基準などの位相的不変量を用いて実現可能性を分析し、マップを分類する。
• 被覆論および埋め込み定理を適用し、各クラスで非可算個の非同型無限群が実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 14の辺推移的マップのクラスのそれぞれについて、どの有限群がそのクラスのマップの自己同型群として現れるか？
• RQ2 どの対称群 $S_n$、交代群 $A_n$、射影特異線型群 $L_2(q)$ が各クラスで自己同型群として実現可能か？
• RQ3 どの有限単純群が辺推移的マップの自己同型群として実現可能であり、どのような条件下でそうなるか？
• RQ4 すべての十分に大きな冪零群または可解群が、各辺推移的クラスで自己同型群として実現可能か？
• RQ5 14のクラスは非可算個の非同型無限群を実現するか？そのような群の位相的性質および成長性質は何か？

主な発見

• 14のクラスのそれぞれについて、群がそのクラスのマップの自己同型群として実現可能となる必要十分条件が確立された。
• すべての十分に大きな対称群 $S_n$ が、$2^{\rm ex}$, $2^{*}{\rm ex}$, $5$, $5^*$ を除くすべてのクラスで実現可能であり、$n \geq 6$ が必要である。
• すべての十分に大きな交代群 $A_n$ が、$2^{\rm ex}$, $2^{*}{\rm ex}$, $5$, $5^*$ を除くすべてのクラスで実現可能であり、$n \geq 8$ が必要である。
• $L_2(q)$ はクラス1で $q \neq 3,7,9$ のとき、クラス2で $q \neq 3$ のとき、クラス3で $q \neq 3$ のときに実現可能であり、クラス $2^{\rm ex}$, $2^{*}{\rm ex}$, $5$, $5^*$ では実現不可能である。
• すべての十分に大きな冪構造クラスまたは導出長の群が、各辺推移的クラスで実現可能である。
• 各辺推移的クラスは非可算個の非同型無限群を実現し、そのような群に対して制御された成長を持つ埋め込み定理が確立された。