[論文レビュー] Automorphism Groups of Geometrically Represented Graphs

Pavel Klavík, Peter Zeman|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 42被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、群論的構造と PQ-木やスプリット木などのデータ構造を用いて、幾何的に表現されたグラフの自己同型群を統一的枠組みで特徴づける。区間グラフの自己同型群は木のそれと同一であり、置換グラフおよび円形グラフの自己同型群は半自己積および wreath 積を用いた帰納的特徴づけがなされ、任意の有限群が次元4以下の比較可能性グラフの自己同型群として実現可能であることを示している。

ABSTRACT

We describe a technique to determine the automorphism group of a geometrically represented graph, by understanding the structure of the induced action on all geometric representations. Using this, we characterize automorphism groups of interval, permutation and circle graphs. We combine techniques from group theory (products, homomorphisms, actions) with data structures from computer science (PQ-trees, split trees, modular trees) that encode all geometric representations. We prove that interval graphs have the same automorphism groups as trees, and for a given interval graph, we construct a tree with the same automorphism group which answers a question of Hanlon [Trans. Amer. Math. Soc 272(2), 1982]. For permutation and circle graphs, we give an inductive characterization by semidirect and wreath products. We also prove that every abstract group can be realized by the automorphism group of a comparability graph/poset of the dimension at most four.

研究の動機と目的

• 幾何的表現がグラフの自己同型群に与える制約を理解すること。
• 代数的群構造を用いて、区間グラフ、置換グラフ、円形グラフの自己同型群を特徴づけること。
• ハロンが提起した、区間グラフの自己同型群が木のそれと同一であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 任意の有限群が次元4以下の比較可能性グラフの自己同型群として実現可能であることを示すこと。
• PQ-木、スプリット木、モジュラー分解を用いた自己同型群の計算におけるアルゴリズム的意義を確立すること。

提案手法

• 自己同型のすべての幾何的表現への誘導作用を用いて群構造を分析する。
• 直積、半自己積、wreath 積を含む群論的道具を用いて自己同型群を記述する。
• PQ-木（区間グラフ用）、スプリット木（円形グラフ用）、モジュラー分解（置換グラフ用）などのデータ構造を用いて表現を符号化する。
• 自己同型群の計算を、これらの構造における対称性検出問題に還元する。
• 多項式時間還元を用いて、グラフ同型問題と自己同型群生成の関係を活用する。
• トランスティヴ向き付けの構築と同型性の保存の証明により、結果を半順序集合（posets）に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間グラフから得られる自己同型群は何か。また、それらは木の自己同型群とどのように関係するか。
• RQ2 置換グラフおよび円形グラフの自己同型群は、群積を用いて帰納的にどのように特徴づけられるか。
• RQ3 任意の有限抽象群が次元4以下の比較可能性グラフの自己同型群として実現可能か。
• RQ4 円弧グラフの自己同型群の構造は何か。また、区間グラフとはどのように異なるか。
• RQ5 3次元半順序集合のクラスは普遍的か。また、そのグラフ同型問題は GI-完全か。

主な発見

• 任意の区間グラフの自己同型群は、ある木の自己同型群と同型である。これはハロンが提起した問いに答えている。
• 連結ユニット区間グラフの自己同型群は、キャタピラー木のそれと等しい。
• 置換グラフおよび円形グラフの自己同型群は、半自己積および wreath 積を用いた帰納的特徴づけがなされている。
• 任意の有限群が次元4以下の比較可能性グラフの自己同型群として実現可能である。
• 4次元半順序集合のグラフ同型問題は GI-完全であり、そのクラスは普遍的である。
• PQ-木およびモジュラー分解を用いた対称性検出により、区間グラフおよび置換グラフの自己同型群の計算に線形時間アルゴリズムが示唆される。