[論文レビュー] Automorphism groups of maps, surfaces and Smarandache geometries

Linfan Mao|ArXiv.org|May 16, 2005

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 9

ひとこと要約

本書は、電圧図とグラフ埋め込みを用いて、マップ、クライン曲面、スモランダッチ幾何の自己同型群を結びつける組合せ的枠組みを確立し、非根付きマップの列挙式を導出し、s多様体を分類する。これは、マップ理論的構成を用いて、古典的微分幾何およびリーマン幾何を拡張するための基礎的代数的・位相的アプローチを提供する。

ABSTRACT

A combinatorial map is a connected topological graph cellularly embedded in a surface. This monograph concentrates on the automorphism group of a map, which is related to the automorphism group of a Klein surface and a Smarandache manifold, also applied to the enumeration of unrooted maps on orientable and non-orientable surfaces. A number of results for the enumeration of unrooted maps underlying a graph on orientable and non-orientable surfaces are discovered. An elementary classification for the closed s-manifolds is found. Open problems related the combinatorial maps with the differential geometry, Riemann geometry and Smarandache geometries are also presented in this monograph for the further application of the combinatorial maps to the classical mathematics.

研究の動機と目的

• マップ、クライン曲面、スモランダッチ多様体の自己同型群を結びつける統一的な組合せ的理論を構築すること。
• グラフ埋め込みと自己同型群を用いて、可定向および非可定向な曲面上の非根付きマップを体系的に列挙する方法を提供すること。
• 組合せ的マップを用いて閉じたs多様体を分類し、その構造的および幾何的性質を調査すること。
• マップ理論的構成を用いて、組合せ的マップ理論と古典的微分幾何およびリーマン幾何を橋渡しし、将来の一般化のための未解決問題を提示すること。
• 今後のトポロジカルグラフ理論および幾何的構造に関する研究のための基盤的ツール（例えば、半弧自己同型群や根付きマップの列挙スキーム）を確立すること。

提案手法

• 電圧図と被覆論を用いて、マップおよびクライン曲面の自己同型群を代数的に定義する。
• グラフの半弧自己同型群を、与えられたグラフが曲面上に埋め込まれるマップを列挙するための主要な道具として適用する。
• 与えられた genus の曲面上の根付きマップの数を計算するため、根付き総マップ多項式と埋め込み多項式を導入する。
• 群がマップの自己同型群として作用できるための組合せ的条件を特定し、Hurwitzの定理における群作用の一般化を図る。
• genus およびオイラー特性の公式を用いてマップと曲面を分類し、可定向および非可定向の場合を区別する。
• 特に境界付き埋め込みマップと双解析的移行関数を用いて、s多様体とクライン曲面をマップ理論的構成でモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マップの自己同型群を、クライン曲面およびs多様体のそれらと体系的に関連付ける方法は何か？
• RQ2 s多様体の組合せ的構造は何か？ また、境界付き曲面上のマップを用いてどのように分類できるか？
• RQ3 ガウス・ボンネの定理およびリーマン・ロッホの定理は、組合せ的マップ理論を用いて再構成可能か？
• RQ4 ガウス写像の組合せ的意味は何か？ また、曲率はどのようにマップ上で定義できるか？
• RQ5 リーマン多様体論は、組合せ的マップと電圧被覆を用いて体系的に再構築または一般化可能か？

主な発見

• マップ理論的手法を用いて、閉じたs多様体の初等的分類が確立された。
• 半弧自己同型群と埋め込み多項式を用いて、非根付きマップの列挙スキームが導出された。
• genus g の曲面上のグラフに根付きマップが埋め込まれる数は、根付き総マップ多項式を用いて計算された。
• 有限群がマップの自己同型群として作用可能であるための組合せ的条件が同定された。
• クライン曲面およびマップ上の自己同型の最大および最小可能な位数が特徴付けられ、固定点なし自己同型の上限も得られた。
• 本稿では、ガウス・ボンネの定理の組合せ的一般化が提示され、マップに対する非ユークリッド的面積定義が提案され、古典的微分幾何の結果を再構築する道筋が示唆された。