[論文レビュー] Automorphism groups of Witt algebras

Jianzhi Han, Yucai Su|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヤコビ組—定数でないヤコビアン行列式をもつ多項式のn重組—を用いて、$W_n$ の非ゼロ自己準同型を特徴づけることにより、すべての $n \geq 1$ に対して多項式代数 $A_n$ の自己同型群とウィット代数 $W_n$ の自己同型群の間に同型が存在することを確立する。主な結果は、${\rm Aut}\,W_2 \cong {\rm Aut}\,A_2$ であり、これは置換、スケーリング、三角自己同型によって生成される群として明示的に特定されている。これにより、ウィット代数 $W_2$ の自己同型群が完全に解明された。

ABSTRACT

The automorphism groups ${ m Aut\,}A_n$ and ${ m Aut\,}W_n$ of the polynomial algebra $A_n=C[x_1,x_2,\cdots, x_n]$ and the rank $n$ Witt algebra $W_n={ m Der\,}A_n$ are studied in this paper. It is well-known that ${ m Aut\,}A_n$ for $n\ge3$ and ${ m Aut\,}W_n$ for $n\ge2$ are open. In the present paper, by characterizing the semigroup ${ m End\,}W_n\setminus\{0\}$ of nonzero endomorphisms of $W_n$ via the semigroup of the so-called Jacobi tuples, we establish an isomorphism between ${ m Aut}\,A_n$ and ${ m Aut\,}W_n$ for any positive integer $n$. In particular, this enables us to work out the automorphism group ${ m Aut\,}W_2$ of $W_2$.

研究の動機と目的

• ウィット代数 $W_n = {\rm Der}\,A_n$ の自己同型群 ${\rm Aut}\,W_n$ を決定すること。これは、無限次元リー代数において長年の未解決問題である。
• $W_n$ の自己準同型を用いて、多項式代数 $A_n$ の自己同型群とウィット代数 $W_n$ の自己同型群との間の構造的関係を確立すること。
• $n=2$ の場合を解明すること。${\rm Aut}\,W_2 \cong {\rm Aut}\,A_2$ を証明し、これにより明示的に記述されること。
• ヤコビ予想（定数ヤコビアンを持つ多項式自己同型）がウィット代数の予想（$W_n$ の任意の非ゼロ自己準同型が自己同型であること）と同値であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、$W_n$ を有理関数体 $\bar{A}_n = \mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)$ の導来代数 $\bar{W}_n = {\rm Der}\,\bar{A}_n$ に埋め込み、自己準同型の幾何的解釈を可能にする。
• $J(f_1,\dots,f_n) \in \mathbb{C}^\times$ を満たす $n$ 重組 $(f_1,\dots,f_n) \in A_n^n$ の集合 ${\rm JT}_n$ に、代入による合成 $f \cdot g = (g_1(f), \dots, g_n(f))$ を用いて半群構造を定義する。
• 各自己同型 $\tau \in {\rm Aut}\,A_n$ に対して、誘導された導来作用を介して一意に定まる自己準同型 $\sigma_{f_\tau} \in {\rm End}\,W_n$ を対応付けることで、写像 $\zeta: {\rm Aut}\,A_n \to {\rm End}\,W_n \setminus \{0\}$ を構成する。
• ヤコビ行列式の逆行列を用いて双対導来基底を定義することにより、$\zeta$ が ${\rm Aut}\,A_n$ から ${\rm Aut}\,W_n$ へのwell-definedな同型写像であることを証明する。
• 任意の $W_n$ の非ゼロ自己準同型はヤコビ組に対応することを示し、ヤコビ予想のもとではこのような自己準同型はすべて自己同型である。これにより、ウィット代数の予想がヤコビ予想を含意することが示された。
• $n=2$ の場合、${\rm Aut}\,A_2$ の既知の構造（置換、スケーリング、三角自己同型によって生成）を用いて、同型写像を通じて ${\rm Aut}\,W_2$ を完全に特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \geq 1$ に対して、${\rm Aut}\,A_n$ と ${\rm Aut}\,W_n$ の間に構造的同型が存在するか？
• RQ2 $n=2$ の自己同型群は、一般の場合の難易度を考慮すると完全に特定可能か？
• RQ3 ヤコビ予想（定数ヤコビアンを持つ多項式自己同型）は、ウィット代数の予想（$W_n$ の任意の非ゼロ自己準同型が自己同型であること）を含意するか？
• RQ4 $W_n$ の非ゼロ自己準同型の半群はヤコビ組によってパラメトライズ可能か？ そして、このパラメトライズ化は ${\rm Aut}\,A_n$ と同型を与えるか？

主な発見

• 本稿では、すべての $n \geq 1$ に対して、$\zeta: {\rm Aut}\,A_n \to {\rm Aut}\,W_n$ なる標準的同型を確立し、$A_n$ と $W_n$ の自己同型群が同型であることを示した。
• $n=2$ の場合、自己同型群 ${\rm Aut}\,W_2$ は、置換 $s_1$、スケーリング $\tau_a$（$a \in \mathbb{C}^\times$）、三角自己同型 $\psi_p$（$p \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$）によって生成される群として完全に特定され、${\rm Aut}\,A_2$ の既知の構造と一致する。
• 著者たちは、ヤコビ予想がウィット代数の予想と同値であることを証明した。すなわち、$W_n$ の任意の非ゼロ自己準同型が自己同型であることは、すべてのヤコビ組が $A_n$ を生成することと同値である。
• $W_n$ の非ゼロ自己準同型の半群は、代入による合成 $f \cdot g = (g_1(f), \dots, g_n(f))$ を用いて、ヤコビ組の集合 ${\rm JT}_n$ によってパラメトライズ可能であり、この乗法構造は同型を定める。
• $\tau \in {\rm Aut}\,A_n$ によって誘導される写像 $\sigma_{f_\tau} \in {\rm End}\,W_n$ は、$\tau$ のヤコビアンが非ゼロ定数であるときにかつそのときに限り全射である。これはヤコビ予想のもとで保証される。
• 証明では、$\sigma_{f_\tau}$ が全射であることを示す。その根拠は、$\sigma_{f_\tau}$ の像がすべての $i,j$ に対して $\partial_j$ と $x_i^2 \partial_j$ を含むことである。$n \geq 2$ のとき、これらは $W_n$ を生成するため、$\sigma_{f_\tau}$ は $W_n$ の自己同型群に一致することが強制される。