[論文レビュー] Automorphism related parameters of a graph associated to a finite vector space

Hira Benish, Imran Javaid+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の有限次元ベクトル空間に関連する非零成分グラフの自己同型関連パラメータを調査する。頂点ペアの固定近傍を定義し、すべての非自明な自己同型を破壊する最小の集合のサイズである固定数を特定する。F₂ 上のベクトル空間では固定数が 2ⁿ⁻¹ であり、q ≥ 3 である F_q 上では |G(𝕍)| − 1 であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we discuss automorphism related parameters of a graph associated to a finite vector space. The fixing neighborhood of a pair $(u,v)$ of vertices of a graph $G$ is the set of all those vertices $w$ of $G$, such that the orbits of $u$ and $v$ under the action of stabilizer of $w$ are not equal. The fixed number of a graph is the minimum number $k$ such that every subset of vertices of $G$ of cardinality $k$ is a fixing set of $G$. We study some properties of automorphisms of a graph associated to finite vector space and find the fixing neighborhood of pair of vertices of the graph. We also find the fixed number of the graph. It is shown that, for every positive integer $N$, there exists a graph $G$ with $fxd(G)-fix(G)\geq N$, where $fxd(G)$ is the fixed number and $fix(G)$ is the fixing number of $G$.

研究の動機と目的

• 有限次元ベクトル空間の非零成分グラフの自己同型を分析すること。
• このグラフにおける頂点ペアの固定近傍を定義し、計算すること。
• すべての非自明な自己同型を破壊する頂点集合の最小サイズである固定数を特定すること。
• 固定数が固定数とは著しく異なる条件を特定すること。
• ベクトル空間の対称性および体の特徴と関連するグラフの構造的性質を調査すること。

提案手法

• 非零ベクトルを頂点とする非零成分グラフを構築し、2つのベクトルが非ゼロ係数を持つ基底ベクトルを共有する場合に隣接するものとする。
• 頂点ペア (u,v) の固定近傍は、w の安定化部分群が自己同型下での u と v の軌道を保存しないような頂点 w の集合として定義される。
• 固定数は、f xd(G) = r + 1 という特徴付けを用いて計算され、ここで r は非固定集合の最大サイズである。
• F₂ に対しては、基底ベクトル bₗ と bₘ が共通に存在するか、あるいは両方とも存在しないベクトルをグループ化することで、サイズ 2ⁿ⁻¹ − 1 の非固定集合 A を構成する。
• F_q（q ≥ 3）に対しては、同一の近傍を持つ頂点のツインクラスを特定し、f xd(G) = |G| − 1 であることが導かれる。
• グラフ自己同型理論の理論的結果とベクトル空間の構造を組み合わせることで、構築された非固定集合の任意の超集合が固定集合であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F₂ 上の有限次元ベクトル空間の非零成分グラフの固定数は何か？
• RQ2 固定数はグラフ内の自己同型構造とどのように関係するか？
• RQ3 固定数が固定数を任意に大きな量だけ上回ることは可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 同一の近傍を持つツイン頂点（ツイン頂点）は固定数を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 体のサイズ（q）は非零成分グラフの固定数にどのように影響するか？

主な発見

• F₂ 上の次元 n ≥ 3 の有限ベクトル空間に対して、その非零成分グラフの固定数は正確に 2ⁿ⁻¹ である。
• F₂ 上の非零成分グラフにおける最大の非固定集合のサイズは 2ⁿ⁻¹ − 1 であり、これは f xd(G) = r + 1 を通じて直接固定数を決定する。
• q ≥ 3 である F_q 上では、同一の近傍を持つツイン頂点クラスが存在するため、固定数は |G(𝕍)| − 1 である。
• 固定数が固定数を任意に大きな量 N 超えることは可能であり、f xd(G) − fix(G) ≥ N を満たすグラフを構成することで示された。
• 頂点ペア (u,v) の固定近傍は、w の安定化部分群が u と v の軌道を保存しないすべての頂点 w を含み、この概念は固定数の証明において不可欠である。
• 非零成分グラフの自己同型群は、基底ベクトルを符号付き置換にマッピングし、選択された基底とは独立にグラフ構造を保存する。