[論文レビュー] Automorphism tower problem and semigroup of endomorphisms for free Burnside groups

Varujan Atabekyan|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、奇数の $n \geq 1003$ および $m > 1$ に対して、自由バーナイ群 $B(m,n)$ の自己同型群の塔問題を解決する。具体的には、$\mathrm{Aut}(B(m,n))$ が完全群であることを証明しており、中心が自明でかつすべての自己同型が内部自己同型であることを意味する。主な結果は、$\mathrm{Inn}(B(m,n))$ が $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 内で自由バーナイ群に同型な唯一の正規部分群であることを示しており、これは自己同型群の塔が最初の段階ですでに停止することを示唆し、絶対自由群の場合と同様の性質を持つ。

ABSTRACT

We have proved that the group of all inner automorphisms of the free Burnside group $B(m,n)$ is the unique normal subgroup in $Aut(B(m,n))$ among all its subgroups, which are isomorphic to free Burnside group $B(s,n)$ of some rank $s$ for all odd $n\ge1003$ and $m>1$. It follows that the group of automorphisms $Aut(B(m,n))$ of the free Burnside group $B(m,n)$ is complete for odd $n\ge1003$, that is it has a trivial center and any automorphism of $Aut(B(m,n))$ is inner. Thus, for groups $B(m,n)$ is solved the automorphism tower problem and is showed that it is as short as the automorphism tower of the absolutely free groups. Moreover, proved that every automorphism of $End(B(m,n))$ is a conjugation by an element of $Aut(B(m,n))$.

研究の動機と目的

• 奇数の指数 $n \geq 1003$ およびランク $m > 1$ を持つ自由バーナイ群 $B(m,n)$ の自己同型群の塔問題を解決すること。
• $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ が完全群、すなわち中心が自明でかつすべての自己同型が内部自己同型であることを確立すること。
• $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ が $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ の正規部分群として自由バーナイ群 $B(s,n)$ に同型であるような唯一のものであることを示すこと。
• 自己準同型半群 $\mathrm{End}(B(m,n))$ の自己同型群を特徴づけること。
• 既知の自己同型群の塔に関する結果を、ねじれのある、相対的に自由な群に一般化し、大きな奇数の指数を持つ群へと拡張すること。

提案手法

• 自由バーナイ群 $B(m,n)$ が自由群を $n$ 乗の生成元で生成される正規部分群で割った商群としての構造を活用すること。
• アディアンの著書で開発された技術を用いて、$n \geq 1003$ に対して無限個の単純な周期的群を構成し、正規部分群を分析すること。
• もし $\mathrm{Inn}(G)$ が $\mathrm{Aut}(G)$ において特徴的であるならば、$\mathrm{Aut}(G)$ は完全群であるという基準を適用し、$\mathrm{Inn}(B(m,n))$ が唯一のこのような正規部分群であることを証明すること。
• $\mathrm{End}(B(m,n))$ の自己同型を分析する際、すべての自己同型が $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ の元による共役によって生じることを示すこと。
• 相対的に自由群の自己準同型半群および自己同型群に関する既知の結果を活用し、特にフーマンエックの自由群に関する研究を拡張すること。
• $B(m,n)$ が奇数の $n \geq 665$ に対して自明な中心を持つことを利用し、必要な構造的性質を得るために $n \geq 1003$ に強化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の指数 $n \geq 1003$ を持つ自由バーナイ群について、自己同型群 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ は完全群か？
• RQ2 自由バーナイ群 $B(m,n)$ の自己同型群の塔は、1ステップ目で停止するか、すなわち $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ が $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ に同型か？
• RQ3 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ は、$\mathrm{Aut}(B(m,n))$ の中で自由バーナイ群 $B(s,n)$ に同型な唯一の正規部分群か？
• RQ4 自己準同型半群 $\mathrm{End}(B(m,n))$ の自己同型は、$B(m,n)$ の自己同型とどのように関係するか？
• RQ5 周期的で相対的に自由な群、たとえば $B(m,n)$ のような群の自己同型群の塔は、絶対自由群の場合と同様に短いか？

主な発見

• すべての奇数の $n \geq 1003$ および $m > 1$ に対して、群 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ は完全群であり、中心が自明でかつすべての自己同型が内部自己同型である。
• $\mathrm{Inn}(B(m,n))$ は、$\mathrm{Aut}(B(m,n))$ の正規部分群として、ある $s$ に対して自由バーナイ群 $B(s,n)$ に同型である唯一のものである。
• $B(m,n)$ の自己同型群の塔は1ステップ目で停止する。すなわち、$B(m,n) \lhd \mathrm{Aut}(B(m,n)) = \mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(B(m,n)))$ であり、これは絶対自由群の場合と同様の性質を持つ。
• $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ が $\mathrm{Aut}(B(k,n))$ に同型であるための必要十分条件は $m = k$ であり、ランクの不変性が成立する。
• 自己準同型半群 $\mathrm{End}(B(m,n))$ のすべての自己同型は、$\mathrm{Aut}(B(m,n))$ のある元による共役によって誘導される。すなわち、ある $\alpha \in \mathrm{Aut}(B(m,n))$ が存在して、$S(\beta) = \alpha \circ \beta \circ \alpha^{-1}$ が成り立つ。
• この結果は、アディアンの著書で構成された、$n \geq 1003$ に対して無限個の単純な周期的群（巡回部分群を含む）の存在に依存しており、これらは $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ の正規部分群を分析するために用いられる。