[論文レビュー] Automorphisms and examples of compact non K\\"ahler manifolds

Gunnar Þór Magnússon|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自明な正則リーマン形式をもつ単連結なケーラー多様体に無限位数の自己同型を作用させることで、コンパクトな非ケーラー多様体を構成する。この構成により、Iitaka $C_{n,m}$ 予想および一般化された豊富性予想が一般の複素多様体に対して成り立たない反例が得られ、これらがプロジェクト型多様体に限らず一般の複素多様体に対しても失敗することを示している。

ABSTRACT

If $f$ is an automorphism of a compact simply connected K\\"ahler manifold with trivial canonical bundle that fixes a K\\"ahler class, then the order of $f$ is finite. We apply this well known result to construct compact non-K\\"ahler manifolds. These manifolds contradict the abundance and Iitaka conjectures for complex manifolds.

研究の動機と目的

• 一般のコンパクト複素多様体に対して、Iitaka $C_{n,m}$ 予想および一般化された豊富性予想が成り立たないことを示すこと。
• 負のコイカウラ次元をもつが、自明な正則リーマン形式をもつコンパクトな非ケーラー多様体の明示的構成を与えること。
• これらの予想の失敗が、自明な正則リーマン形式をもつケーラー多様体上の無限位数自己同型の力学的性質から自然に生じることを示すこと。
• カルビ–ヤウ多様体またはハイパーケーラー多様体をファイバーにもつ、非ケーラー的ファイブレーションの新しい族を構成することで、既知の Iitaka 予想の反例を拡張すること。
• 大西の結果（K3 表面およびエンリケス表面の自己同型に関する結果）を活用し、高次元における必要な無限位数自己同型を実現すること。

提案手法

• 自明な正則リーマン形式をもち、単連結なコンパクトケーラー多様体 $M$ と、無限位数の自己同型 $f$ をとる。
• 複素ベクトル空間 $V$ における格子 $\Gamma$ を定義し、$\Gamma$ が $M \times V$ 上で $\gamma \cdot (z,t) = (f(\gamma \cdot z), t + \gamma)$ により作用するようにする。ここで $\Gamma$ の各生成子が $f$ に写されるものとする。
• 商多様体 $X = (M \times V)/\Gamma$ をつくり、これはコンパクトで滑らかであり、コhomology 上のモノドロミー作用により非ケーラー的である。
• 多様体 $X$ が複素トーラス $B = V/\Gamma$ に正則にファイブレーションされ、ファイバーが $M$ に同型であることを示し、$X$ のコイカウラ次元が負であることを示す。
• $f$ が $H^2(M,\mathbb{C})$ 上で非自明に作用し、正則シンプレクティック形式を保存することから、$H^0(M,K_M)$ 上の固有値が無限位数であることが従う。
• 大西の結果を活用し、このような自己同型をもつ K3 表面および高次元ハイパーケーラー多様体の明示的例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自明な正則リーマン形式をもつケーラー多様体と無限位数自己同型を用いて、コンパクトな非ケーラー多様体を構成できるか？
• RQ2 このような構成により、一般の複素多様体に対する Iitaka $C_{n,m}$ 予想の反例が得られるか？
• RQ3 正則リーマン形式が平坦であっても、非ケーラー的状況において一般化された豊富性予想が破れることがあるか？
• RQ4 特にファイバーのコイカウラ次元がゼロである場合に、非ケーラー幾何におけるファイブレーションにおけるコイカウラ次元の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 カルビ–ヤウ多様体上の無限位数自己同型は、制御された正則リーマン形式とコイカウラ次元をもつ非ケーラー的全空間をもたらすか？

主な発見

• 構成された多様体 $X = (M \times V)/\Gamma$ は、複素トーラス $B$ に正則にファイブレーションされ、ファイバーが $M$ に同型であるコンパクトで滑らかな非ケーラー複素多様体である。
• 多様体 $X$ のコイカウラ次元は負であるが、ファイバー $M$ および基底 $B$ ともにコイカウラ次元はゼロであり、Iitaka $C_{n,m}$ 予想に反する。
• 正則リーマン形式 $K_X$ は平坦（数的次元ゼロ）であるが、$\kappa(X) < 0$ であるため、一般化された豊富性予想に反する。
• この構成は、自明な正則リーマン形式をもつケーラー多様体と無限位数自己同型の存在に依存しており、K3 表面およびそれらのダウディー空間を用いて実現される。
• 大西の結果により、$H^0(M,K_M)$ 上での作用が無限位数である K3 表面が存在することが確認され、モノドロミーがコホモロジー上で非自明に作用することを保証する。
• 同様の構成は高次元ハイパーケーラー多様体およびカルビ–ヤウ多様体（例えばエンリケス表面のダウディー空間の普遍被覆）にも適用可能であり、さらなる反例をもたらす。