[論文レビュー] Automorphisms groups for $p$-cyclic covers of the affine line

Claus Lehr, Michel Matignon|ArXiv.org|Jul 2, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正の整数 $p>0$ の代数閉体上でのアフィン直線の $p$-巡回被覆の自己同型群の $p$-部分群を分類し、それがちょうど特異的 $p$-部分群およびその中心を含む部分群であることを証明する。アーティン＝シュライヤー方程式からこれらの群を計算するためのアルゴリズムを提供し、加法的多項式およびインert性群の解析を通じて明示的構成と構造的特徴付けを実現する。

ABSTRACT

Let $k$ be an algebraically closed field of positive characteristic $p>0$ and $C o {\mathbb P}^1_k$ a $p$-cyclic cover of the projective line ramified in exactly one point. We are interested in the $p$-part of the full automorphism group $Aut_k C$. First we prove that these groups are exactly the extra-special $p$-groups and groups G which are subgroups of an extra-special group E such that $Z(E) \subseteq G$. The paper also describes an efficient algorithm to compute the $p$-part of $\Aut_k C$ starting from an Artin-Schreier equation for the cover $C o {\mathbb P}^1_k$. The interest for these objects initially came from the study of the stable reduction of $p$-cyclic covers over the $p$-adics. There the covers $C o {\mathbb P}^1_k$ naturally arise and their automorphism groups play a major role in understanding the arithmetic monodromy. Our methods rely on previous work by Stichtenoth whose approach we have adopted.

研究の動機と目的

• 正の特性 $p>0$ におけるアフィン直線の $p$-巡回被覆について、無限遠点における野生的インテンシティ群 $G_{\notinfty,1}(f)$ の構造を特定すること。
• 与えられたアーティン＝シュライヤー方程式 $W^p - W = f(X)$ から $G_{\notinfty,1}(f)$ を構成的に計算するアルゴリズムを提供すること。
• このような被覆の自己同型群のすべての可能な $p$-部分群を $p$-群の同型類として特徴づけること。
• 自己同型群の構造と、$p$-巡回被覆の $p$-進安定還元における算術的モノドロミーの関係を明らかにすること。

提案手法

• 集合 $S(f)$ が $k$ の元 $y$ で、$f(X+y) - f(X) - f(y) \in \mathrm{Im}(\mathrm{Id} - F)$ を満たすものであるとき、加法的多項式 $\mathrm{Ad}_f(Y)$ を $\prod_{y \in S(f)} (Y - y)$ として定義する。
• 多項式除法およびフロベニウスによる還元を用いて、$f(X+y) - f(X) - f(y) = (\mathrm{Id} - F)P(X,y)$ を満たす $P(X,y)$ を構成する。
• $\mathrm{Ad}_f(Y)$ の核を用いて、無限遠点を固定し被覆構造を保存する自己同型の集合を同定する。
• 特徴 $p$ における反復的アルゴリズムを用い、モジュラ多項式還元および GCD 計算により $f(X)$ を簡約し $\mathrm{Ad}_f(Y)$ を計算する。
• $\mathrm{Ad}_f(Y)$ の構造を用いて、$G_{\infty,1}(f)$ の群構造、同型型および指数を特定する。
• 自己同型群内の要素の可換関係および位数解析を用いて群構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性 $p>0$ におけるアフィン直線の $p$-巡回被覆について、野生的インテンシティ群 $G_{\infty,1}(f)$ の可能な同型型は何か？
• RQ2 与えられたアーティン＝シュライヤー方程式 $W^p - W = f(X)$ から $G_{\infty,1}(f)$ をどのようにアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ3 $f(X)$ にどのような条件を課すと、$G_{\infty,1}(f)$ が非アーベル的またはより高い $p$-群ランクを持つようになるか？
• RQ4 すべての特異的 $p$-群（または中心を含む部分群）は、ある $f$ に対して $G_{\infty,1}(f)$ として実現可能か？
• RQ5 関数 $f$ の導手と $G_{\infty,1}(f)$ のサイズまたは構造との正確な関係は何か？

主な発見

• アフィン直線の $p$-巡回被覆 $C$ について、自己同型群 $\mathrm{Aut}_k C$ の $p$-部分群は、ちょうど特異的 $p$-群およびその中心を含む部分群である。
• 特異的インテンシティ群 $G_{\infty,1}(f)$ は、$\mathrm{Ad}_f(Y) = Y^4 + Y$ かつ $p=2$ のとき $D_8$ に同型であり、位数 4 の元が 2 個存在する。
• $f(X) = X^m$ で $m-1 = p^s$ のとき、$|G_{\infty,1}(f)| = p^{2s+1}$ となり、導手の $p$-冪における指数的増加を示す。
• $m-1 = \ell p^s$ で $\ell > 1$ かつ $p>2$ のとき、$|G_{\infty,1}(f)| \leq p^{s+1}$ は鋭い（最良の）上界である。
• $|G_{\infty,1}(f)| / g(f) > p/(p-1)$ ならば、$f(X) = X R(X)$ となる加法的多項式 $R(X)$ が存在し、群のサイズと加法的構造を結びつける。
• アルゴリズムはモジュラ還元および GCD 技法を用いて $\mathrm{Ad}_f(Y)$ を計算し、$f$ から $G_{\infty,1}(f)$ の明示的構成を可能にする。