[論文レビュー] Automorphisms of Chevalley groups of type $B_l$ over local rings with 1/2

E. I. Bunina|ArXiv.org|Nov 22, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、1/2 を含む可換局所環上の型 $B_l$ ($l \geq 2$) のChevalley群の任意の自己同型が標準的である、すなわち、環自己同型、内自己同型、中心自己同型の合成であることを証明している。証明は、特定の元の平方根を添加して環を拡張し、基本部分群を正規化するトーラス元を構成し、群とその中心による商への自己同型の作用を分析することに依拠しており、最終的に任意の自己同型が環、内、中心自己同型の組み合わせによって誘導されることを示している。

ABSTRACT

In the given paper we prove that every automorphism of a Chevalley group of type $B_l$, $l\geqslant 2$, over a commutative local ring with 1/2 is standard, i. e., it is a composition of ring, inner and central automorphisms.

研究の動機と目的

• 1/2 を含む可換局所環上の型 $B_l$ のChevalley群のすべての自己同型を分類すること。
• 局所環上のChevalley群の自己同型に関する先行結果を $B_l$ ルート系へ拡張すること。
• すべての自己同型が標準的である、すなわち、環自己同型、内自己同型、中心自己同型の合成であることを確立すること。
• $A_l$、$D_l$、$E_l$、$F_4$、$G_2$ の場合に先行して得られた手法を $B_l$ の場合に一般化すること。
• 全Chevalley群 $G_{\pi}(\Phi,R)$ の自己同型が、基本部分群 $E_{\pi}(\Phi,R)$ の自己同型によって誘導されることを証明すること。この誘導はトーラス元と環自己同型を介して行われる。

提案手法

• 特定の元 $r_1$ と $r_l$ の平方根を添加することで、局所環 $R$ の拡張 $S$ を構成し、$G_{\pi}(\Phi,S)$ におけるトーラス元の定義を可能にする。
• Chevalley生成子 $h_{\alpha_i}(s)$ を用いて、$G_{\pi}(\Phi,S)$ 内にトーラス元 $t_1$ と $t_l$ を定義し、それらが基本部分群 $E_{\pi}(\Phi,R)$ を正規化することを保証する。
• 基本Chevalley群の中心による商が、アドジョイント基本群 $E_{\mathrm{ad}}(\Phi,R)$ に同型であるという事実を用い、$E_{\mathrm{ad}}(\Phi,R)$ の自己同型に関する既知の結果への還元を可能にする。
• 商群から $E_{\pi}(\Phi,R)$ への環自己同型 $\overline{\rho}$ を持ち上げ、中心上の作用を保つようにする。
• $e \in E_{\pi}(\Phi,R)$ および $t \in T_{\pi}(\Phi,S)$ に対して $g = te \in G_{\pi}(\Phi,S)$ を用いて、共役自己同型 $\varphi_g$ を構成し、内自己同型に類似した自己同型を実現する。
• 中心自己同型であることを示すために、$\psi = \varphi_{g^{-1}} \circ \rho^{-1} \circ \varphi$ という合成自己同型を定義し、それが基本部分群上で自明に作用することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1/2 を含む局所環上の型 $B_l$ のChevalley群のすべての自己同型は、標準的であるか。すなわち、環、内、中心自己同型の合成であるか。
• RQ2 $\Phi = B_l$ の場合に、$E_{\pi}(\Phi,R)$ の自己同型群は、アドジョイント群 $E_{\mathrm{ad}}(\Phi,R)$ からの持ち上げによって完全に記述可能か。
• RQ3 拡張環 $S$ 上で、$G_{\pi}(\Phi,S)$ 内のトーラス元をどのように明示的に構成すれば、基本部分群を正規化し、自己同型を実現できるか。
• RQ4 全Chevalley群 $G_{\pi}(\Phi,R)$ の自己同型は、基本部分群 $E_{\pi}(\Phi,R)$ の自己同型からどの程度まで降下可能か。
• RQ5 自己同型が基本部分群 $E_{\pi}(\Phi,R)$ 上で自明に作用するとき、$G_{\pi}(\Phi,R)$ のすべての自己同型は中心的であるか。

主な発見

• 1/2 を含む可換局所環上の型 $B_l$ のChevalley群の任意の自己同型は標準的である。すなわち、環自己同型、内自己同型、中心自己同型の合成である。
• 基本Chevalley群 $E_{\pi}(\Phi,R)$ の自己同型群は、適切な $R$ の拡張 $S$ に対して、$G_{\pi}(\Phi,S)$ の元によって誘導される内自己同型と環自己同型によって生成される。
• $E_{\pi}(\Phi,R)$ の中心による商は、アドジョイント基本群 $E_{\mathrm{ad}}(\Phi,R)$ に同型であり、後者の自己同型は前者へ持ち上げられる。
• $r_1$ と $r_l$ の平方根を用いて、$G_{\pi}(\Phi,S)$ 内のトーラス元 $t_1$ と $t_l$ が明示的に構成され、根元への正しい共役作用が保証される。
• 任意の自己同型が $E_{\pi}(\Phi,R)$ 上で自明に作用するならば、それは中心的であり、$E_{\pi}(\Phi,R)$ が完全群であるため、このような自己同型は自明である。
• 全Chevalley群 $G_{\pi}(\Phi,R)$ はそのトーラスと基本部分群によって生成されるため、自己同型構造は $E_{\pi}(\Phi,R)$ およびトーラスへの作用によって完全に決定される。