[論文レビュー] Automorphisms of fusion systems of finite simple groups of Lie type

Carles Broto, Jesper M. Møller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 49被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、素数 $p$ におけるリー型有限単純群の融合系および接続系の自己同型を分類し、$p$ が定義的特徴類であるとき、$G$、その融合系、およびその接続系の自己同型群が同型であることを示している（ただし、少数の例外を除く）。$p$ が定義的特徴類と異なるとき、自己同型構造はより複雑になるが、依然として $ \mathrm{Out}(G)$ から融合系の外部自己同型へのスプリット・オーバー写像に還元可能である。

ABSTRACT

For a finite group G of Lie type and a prime p, we compare the automorphism groups of the fusion and linking systems of G at p with the automorphism group of G itself. When p is the defining characteristic of G, they are all isomorphic, with a very short list of exceptions. When p is different from the defining characteristic, the situation is much more complex, but can always be reduced to a case where the natural map from Out(G) to outer automorphisms of the fusion or linking system is split surjective. This work is motivated in part by questions involving extending the local structure of a group by a group of automorphisms, and in part by wanting to describe self homotopy equivalences of the p-completion of the classifying space BG in terms of Out(G).

研究の動機と目的

• 有限単純リー型群 $G$ の自己同型群と、その融合系および接続系の自己同型群を、素数 $p$ に対して比較すること。
• 自己同型群 $ \mathrm{Out}(BG^\wedge_p)$、つまり $G$ の $p$-完備分類空間の自己ホモトピー同値群の構造を、融合系の自己同型を通じて理解すること。
• 自然な写像 $\mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ が同型またはスプリット・オーバー写像であるときを特定すること。
• リー型群に関連する融合系の「たんがい性」と「実現性」の性質を解明すること。
• 群 $G$ の局所的構造を自己同型で拡張し、その結果得られるホモトピー論的不変量を記述すること。

提案手法

• 自然な準同型 $\kappa_G: \mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ および $\mu_G: \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G)) \to \mathrm{Out}(S, \mathcal{F}_S(G))$ を用いて、自己同型群を比較する。
• 2-群上の融合系の「たんがい性」に関するアシュバッハァーのプログラムの結果を応用し、$\mathcal{F}_S(G)$ の構造を分析する。
• 同型 $\mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G)) \cong \mathrm{Out}(BG^\wedge_p)$ を活用し、群の自己同型とホモトピー同値を関連付ける。
• 古典的群（例：$\mathrm{Sp}_8(\mathbb{K})$、$\mathrm{SO}_8(\mathbb{K})$）における中心化子と固定点構造を分析し、自己同型群作用の制限を求める。
• 群論的制約 $|C_{H/Z}(P)/C_H(P)/Z| \leq |P/\mathrm{Fr}(P)|$ を用いて、可能な共轭類を制限する。
• 命題 A.4 を適用し、中心化子の成分における非推移的作用を通じて、特定の部分群 $E$ が $\widehat{\mathcal{Z}}$ の元と $\overset{\sim}{G}$-共轭でないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ がリー型有限単純群であるとき、写像 $\mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ が同型となるのはいつか？
• RQ2 $p$ が $G$ の定義的特徴類でないとき、$\mathrm{Out}(S, \mathcal{F}_S(G))$ の構造は $\mathrm{Out}(G)$ とどのように関係するか？
• RQ3 融合系 $\mathcal{F}_S(G)$ が $G$ によって「たんがいに実現可能」（tamely realized）である条件は何か？
• RQ4 $\mathrm{Aut}_{\overset{\sim}{G}}(E)$ の $\pi_0(C_{\overset{\sim}{G}}(E))$ への作用が推移的でないのはいつか？ そしてこれは $\widehat{\mathcal{Z}}$ 内の共轭性に何を意味するか？
• RQ5 $G$ がリー型であるとき、$\mathrm{Out}(BG^\wedge_p)$ と $\mathrm{Out}(G)$ の正確な関係は何か？

主な発見

• 定義的特徴類が $p$ であるリー型有限単純群 $G \in \mathfrak{Lie}(p)$ で、$G \not\cong \mathrm{PSL}_3(2)$ であるとき、合成写像 $\kappa_G \circ \mu_G: \mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}(S, \mathcal{F}_S(G))$ は同型である。
• 定義的特徴類の場合、写像 $\kappa_G$ と $\mu_G$ は同型であるが、$G \cong \mathrm{PSL}_3(2)$ のとき $\mu_G$ は同型でない。
• $p$ が $G$ の定義的特徴類と異なるとき、写像 $\mathrm{Out}(G) \to \mathrm{Out}_{\mathrm{typ}}(\mathcal{L}_S^c(G))$ はスプリット・オーバー写像である。
• $G = \mathrm{PSL}_3(2)$ の場合、$\mu_G$ が同型でないため、一般の定義的特徴類の振る舞いとは逸脱している。
• $G = \mathrm{Sp}_8(\mathbb{K})$ または $\mathrm{SO}_8(\mathbb{K})$ の場合、$F_i\langle\theta\rangle\langle g\rangle$ の中心化子の次元は、$g$ が型 2A または 2B のときそれぞれ $20, 24, 16$ であることが計算され、自己同型群作用の非推移的性を支持する。
• $\mathrm{Aut}_{\overset{\sim}{G}}(E)$ の $\pi_0(C_{\overset{\sim}{G}}(E)) \cong C_2^5$ への作用は、$\theta \overset{\sim}{T}$ に固定点がないため非推移的であり、$E$ は $\widehat{\mathcal{Z}}$ の任意の $E^*$ と $\overset{\sim}{G}$-共轭でない。