[論文レビュー] Automorphisms of $\mathbb C^k$ with an invariant non-recurrent attracting Fatou component biholomorphic to $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$

Filippo Bracci, Jasmin Raissy+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$k \geq 2$ に対して $\mathbb{C}^k$ の正則自己同型を構成し、$\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ に正則同型である不変で非再帰的な吸引的ファトウ成分を有する。この構成には、局所的ファトウ座標、ファイバー束の拡張、および小林計量の推定が組み合わされている。主な結果として、複素力学における非単連結な吸引的ファトウ成分の初の既知の例が得られ、$\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$ が $\mathbb{C}^2$ にランゲ埋め込み可能かどうかという長年の未解決問題が解決された。

ABSTRACT

We prove the existence of automorphisms of $\mathbb C^k$, $k\ge 2$, having an invariant, non-recurrent Fatou component biholomorphic to $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$ which is attracting, in the sense that all the orbits converge to a fixed point on the boundary of the component. Such a Fatou component also avoids $k$ analytic discs intersecting transversally at the fixed point. As a corollary, we obtain a Runge copy of $\mathbb C imes (\mathbb C^\ast)^{k-1}$ in $\mathbb C^k$.

研究の動機と目的

• $k \geq 2$ に対して $\mathbb{C}^k$ の正則自己同型が、$\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ に正則同型である不変で非再帰的吸引的ファトウ成分を有することの存在を確立する。
• $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$ が $\mathbb{C}^2$ にランゲ埋め込み可能かどうかという長年の未解決問題を、その埋め込みをファトウ成分として構成することによって解決する。
• 吸引的固定点で横断的に交わる $k$ 個の正則的円板を避けるようなファトウ成分を構成することを示す。
• ファトウ座標によって誘導されるファイバー束構造を用いて、グローバルファトウ成分が $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ に正則同型であることを証明する。
• 小林計量の推定を用いて、より大きな不変領域が存在しないことを排除することで、成分が完全なファトウ成分であることを確立する。

提案手法

• 原点に固定点をもち、Pöschelの許容性条件を満たす固有値をもつ正則な局所的微小変形を用いて、$\mathbb{C}^k$ 内の局所的吸引域 $B$ を構成する。
• $\psi \circ F = \psi + 1$ を満たすように、$B$ 上に局所的ファトウ座標 $\psi$ を定義し、反復写像が原点に一様収束することを保証する。
• ファトウ座標 $\psi$ をグローバルな吸引域 $\Omega = \bigcup_{n \geq 0} F^{-n}(B)$ 上のグローバル写像 $g_1$ に拡張し、$(\mathbb{C}^*)^{k-1}$ をファイバーとする正則なファイバー束写像であることを確立する。
• $k-1$ 個の追加の局所座標 $\sigma_j$ を、$\sigma_j \circ F = \lambda_j \cdots \lambda_k \cdot e^{-\frac{k-j+1}{k\psi}} \sigma_j$ を満たすように定義し、$\Omega_0 \subset \Omega$ 上でグローバルに拡張する。
• ファイバー束の遷移関数が $\mathrm{GL}_{k-1}(\mathbb{C})$ に属することを用いて、[7, Corollary 8.3.3] より $\Omega$ が $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ に正則同型であることを結論づける。
• Pöschelの結果と小林計量の詳細な推定を適用し、$\Omega$ を含むファトウ成分 $V$ が $\Omega$ に等しいことを示し、完全なファトウ成分であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 2$ に対して、$\mathbb{C}^k$ の正則自己同型で、$\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ に正則同型である非再帰的吸引的ファトウ成分を有するものが存在するか？
• RQ2 $\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*$ は、自己同型のファトウ成分として $\mathbb{C}^2$ にランゲ埋め込みとして実現可能か？
• RQ3 吸引的固定点で横断的に交わる $k$ 個の正則的円板を避けるようなファトウ成分を構成することは可能か？
• RQ4 ファトウ座標から誘導されるファイバー束構造を用いて、正則自己同型のグローバル吸引域が $\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ に正則同型であることを示せるか？
• RQ5 小林計量を用いて、グローバル吸引域が完全なファトウ成分であり、より大きな不変領域の一部ではないことを証明できるか？

主な発見

• 本稿は、各 $k \geq 2$ に対して、$\mathbb{C}^k$ の正則自己同型を構成し、$\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ に正則同型である不変で非再帰的吸引的ファトウ成分を有する。これは高次元における初めての例である。
• 冠頭付記 0.2 により、$\mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ が $\mathbb{C}^k$ にランゲ埋め込み可能であることが示され、複素解析における長年の未解決問題が解決された。
• 構成されたファトウ成分は、吸引的固定点で横断的に交わる $k$ 個の正則的円板を避ける。これは $\mathbb{C}^k$ に正則同型でないという主要な位相的障害である。
• $\psi \circ F = \psi + 1$ の関数方程式と拡張技術を用いて、グローバル吸引域 $\Omega$ が $\mathbb{C}$ 上の正則ファイバー束であり、ファイバーが $(\mathbb{C}^*)^{k-1}$ であることが示され、$\Omega \cong \mathbb{C} \times (\mathbb{C}^*)^{k-1}$ を得る。
• Pöschelの許容性条件と小林計量の詳細な推定を適用することで、ファトウ成分 $V$ が $\Omega$ に等しいことが証明され、完全なファトウ成分であることが確認された。
• コホロロジー群 $H^{k-1}(\Omega, \mathbb{C})$ は非自明であり、これはランゲ領域としての $\mathbb{C}^k$ における許容される最高の非自明なコホモロジー次元を示しており、セールの消失定理と整合的である。