[論文レビュー] Automorphisms of open surfaces with irreducible boundary

Adrien Dubouloz, Stéphane Lamy|Osaka City University (Osaka City University)|Apr 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、滑らかで準射影的で、境界が既約である表面の自己同型を、すべての吹き上げと収縮が境界上に起こる log Mori 理論の枠組みの中で、単純な有理的リンクの列に分解するアルゴリズムを開発する。主な貢献は、有理被覆を保存するモデル間の同型を用いた自己同型の標準形の構成であり、これはアフィン自己同型およびジョンクィエーズ自己同型を一般化するものであり、アフィン平面を含む有限個の族を除き、ほとんどの表面に対してターム群が Aut(V) の真部分群であることを示す。

ABSTRACT

Let (S, B) be the log pair associated with a projective completion of a smooth quasi-projective surface V . Under the assumption that the boundary B is irreducible, we obtain an algorithm to factorize any automorphism of V into a sequence of simple birational links. This factorization lies in the framework of the log Mori theory, with the property that all the blow-ups and contractions involved in the process occur on the boundary. When the completion S is smooth, we obtain a description of the automorphisms of V which is reminiscent of a presentation by generators and relations except that the "generators" are no longer automorphisms. They are instead isomorphisms between different models of V preserving certain rational fibrations. This description enables one to define normal forms of automorphisms and leads in particular to a natural generalization of the usual notions of affine and Jonquieres automorphisms of the affine plane. When V is affine, we show however that except for a finite family of surfaces including the affine plane, the group generated by these affine and Jonquieres automorphisms, which we call the tame group of V, is a proper subgroup of Aut(V).

研究の動機と目的

• 滑らかで準射影的で、境界が既約である表面 V の自己同型群を、log Mori理論的枠組みで記述すること。
• すべての変形が境界除集合上で起こるような、V の自己同型を単純リンクに分解するアルゴリズムを開発すること。
• 有理被覆を保存する V の異なるモデル間の同型を導入することで、アフィンおよびジョンクィエーズ自己同型の概念を一般化すること。
• これらの一般化された自己同型によって生成される群（「ターム群」）が、有限個の例外を除き、すべてのこのような表面に対して Aut(V) の真部分群であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、V の自己同型によって誘導される有理写像を、中間的な log Mori 纖維空間間の基本的リンクに分解するため、log Sarkisov プログラムを用いる。
• 境界が既約曲線である完成化に注目し、すべての吹き上げと収縮が境界上で起こることを保証することで、『適切な』分解が達成されることを確立する。
• S が射影的表面で、B_S が既約境界曲線であるような対 (S, B_S) の分類に依存する。特に F_4、F_2、F_0 の場合を扱う。
• 各ケースについて、幾何学的および群論的技法（軌道分解と交比不変量を含む）を用いて (S, B_S) の自己同型群を分析する。
• 有理被覆の同値類を特定し、被覆を保存する V のモデル間の同型を用いて、自己同型の標準形を構成する。
• 著者たちは、(F_0, C_{1,b}) の自己同型群が有限（位数 ≤24）であり、すべての b に対して、b ∈ ℂ \ {0,1} で二次多項式の根条件を満たす場合を除き自明であることを示す。また、この対の同型類は非可算無限個存在する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界が既約である滑らかな準射影的表面の自己同型は、すべての変形が境界上に起こる単純リンクの列に分解可能か？
• RQ2 有理被覆を保存する異なるモデル間の同型を用いて、このような表面の自己同型群はどのように記述可能か？
• RQ3 一般化されたアフィンおよびジョンクィエーズ自己同型によって生成される群の構造は何か？ そして、全自己同型群とはどのように関係するか？
• RQ4 自己同型群が有限である非同型対 (S, B_S) は非可算無限個存在するか？ その不変量は何か？

主な発見

• log Sarkisov プログラムを境界が既約である完成化に適用すると、一般には適切な分解が得られない。なぜならリンクが内部の表面 V を保存しないことがあるからである。
• 表面 (F_4, C_4) に対して、自己同型群は境界上で2つの軌道に作用する：無限遠点とその補集合。
• ケース (F_2, C_{2,1}) では、自己同型群は境界上で3つの軌道に作用する：無限遠点、原点、およびそれ以外。
• F_0, C_{0,0} の場合、自己同型群は ℂ* × ℤ₂ に同型であり、重み付きスケーリングと対称性を用いて作用する。
• F_0, C_{1,b} の場合、自己同型群は有限（位数 ≤24）であり、すべての b に対して、b ∈ ℂ \ {0,1} で二次多項式の根条件を満たす場合を除き自明である。
• 交比によって水平接線が区別される、非可算無限個の (F_0, C_{1,b}) の同型類が存在する。そのうち、非自明な自己同型群を持つのは有限個に限る。