[論文レビュー] Automorphisms of rational surfaces with positive entropy

Julie Déserti, Julien Grivaux|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、例外的集合が直線または円錐曲線である複素射影平面の双有理写像を分析することにより、正の位相的エントロピーをもつ有理的表面への自己同型の新しい族を構成する。特異点解消技術とクレモナ変換の族におけるパラメータ数の数え上げを用いて、このような写像が有限個の点における吹き上げの自己同型に引き上げられるための条件を確立し、双有理写像族の一般パラメータ数が関連する有理的表面の変形族の一般パラメータ数によって上限づけられることを証明する。主な貢献は、双有理写像族の複雑さと、正のエントロピーをもつ自己同型をもつ結果の有理的表面の幾何学的性質との間の明確な対応関係を示したことにある。

ABSTRACT

A complex compact surface which carries an automorphism of positive topological entropy has been proved by Cantat to be either a torus, a K3 surface, an Enriques surface or a rational surface. Automorphisms of rational surfaces are quite mysterious and have been recently the object of intensive studies. In this paper, we construct several new examples of automorphisms of rational surfaces with positive topological entropy. We also explain how to define and to count parameters in families of birational maps of the complex projective plane and in families of rational surfaces.

研究の動機と目的

• 正の位相的エントロピーをもつ有理的表面への自己同型の新しい例を構成すること。
• P²(C)の双有理写像族および有理的表面族におけるパラメータ数を数える方法を構築すること。
• 正則族におけるクレモナ変換の一般パラメータ数と有理的表面の変形論との関係を明確にすること。
• P²の有限個の点における吹き上げの自己同型に、P²の双有理写像が引き上げられるための条件を確立すること。
• 双有理写像族の一般パラメータ数が、関連する有理的表面の変形の一般パラメータ数によって上限づけられることを証明すること。

提案手法

• 点および無限に近い点における吹き上げの列を用いた双有理写像の特異点解消。
• 接続された軌道のコホモロジー次元を用いて、正則族におけるクレモナ変換の一般パラメータ数の定義と計算。
• 次数nの双有理写像族を構成し、6n−3または4n−2個の点におけるP²の吹き上げ上で自己同型に共役な指数的成長を示す。
• ヒルツェブルフ面Fnを用いて、非基本的有理的表面の小さな変形を吹き上げの列によってパラメータ化する。
• 定理5.9の応用により、有理的表面の変形と双有理写像が自己同型に引き上げられる関係を結ぶ。
• PGL(3;C)における正則同相と軌道論を用いて、一般パラメータ数の不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P²の双有理写像が、有限個の点におけるP²の吹き上げの自己同型に引き上げられる条件は何か？
• RQ2 クレモナ変換族および有理的表面族における一般パラメータ数をどのように定義・計算できるか？
• RQ3 双有理写像族のパラメータ数と関連する有理的表面の変形論との関係は何か？
• RQ4 直線または円錐曲線を例外的集合にもつ双有理写像を用いて、正の位相的エントロピーをもつ有理的表面の無限族を構成できるか？
• RQ5 双有理写像族の一般パラメータ数が、関連する有理的表面の変形の一般パラメータ数と等しくなるのはいつか？

主な発見

• 本稿では、不変直線をもたない3次例を含む、正の位相的エントロピーをもつ有理的表面への自己同型の新しい例を構成する。
• 次数nの双有理写像に対して、表面がP²を6n−3または4n−2個の点で吹き上げたものであるとき、正のエントロピーをもつ自己同型が生じる。
• 正則族における双有理写像の一般パラメータ数は、関連する有理的表面の変形の一般パラメータ数によって上から抑えられる。
• 著者らは、適切な条件下でm(ẽU) = m(X)を証明し、双有理族と表面の変形におけるパラメータ数の等価性を示した。
• 本構成により、m(Y) < m(X)となる例が得られ、定理5.11における上限が鋭く、常に等式ではないことを示した。
• 本稿では、正のエントロピーをもつ自己同型をもつ有理的表面は基本的でなければならないし、少なくとも10回の吹き上げをもたなければならないことが確立された。