[論文レビュー] Automorphisms of Regular Algebras

Todor Popov|ArXiv.org|Jan 11, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元の非二次的正則アーティン＝シュレーディンガー代数へ、マニンの量子行列群構成を拡張し、二次的および三次的両ケースに対して自己同型のホップ代数を構成する。三次的代数に対しては、従来の分類に含まれない新しい量子群が得られ、特に $S_2$ 型のような特定のタイプでは、量子群のゲルファンド＝キリロフ次元が予想される 9 ではなく 7 となる。

ABSTRACT

Manin associated to a quadratic algebra (quantum space) the quantum matrix group of its automorphisms. This Talk aims to demonstrate that Manin's construction can be extended for quantum spaces which are non-quadratic homogeneous algebras. Here given a regular Artin-Schelter algebra of dimension 3 we construct the quantum group of its symmetries, i.e., the Hopf algebra of its automorphisms. For quadratic Artin-Schelter algebras these quantum groups are contained in the the classification of the GL(3) quantum matrix groups due to Ewen and Ogievetsky. For cubic Artin-Schelter algebras we obtain new quantum groups which are automorphisms of cubic quantum spaces.

研究の動機と目的

• 3次元の正則アーティン＝シュレーディンガー代数について、マニンの量子行列群構成を二次的から非二次的（特に三次的）なものへ拡張すること。
• 正則代数の自己準同型のバイアルゲブラが、逆元関係を追加することによってホップ代数に拡張可能であることを示し、対称性の量子群を定義すること。
• 三次的正則代数に対する新しい量子群の分類と構成を行い、これはエーウェン＝オジエヴェツキーによる $GL(3)$-型量子群の分類に含まれない。
• 自己同型量子群のゲルファンド＝キリロフ次元を計算し、特定の三次的代数に対しては、予想される 9 ではなく 7 となることを示すこと。

提案手法

• 代数 $\text{A}$ 及びその双対 $\text{A}^!$ のテンソル積を用いて、$e(\text{A}) = \text{A}^! \bullet \text{A}$ として自己準同型バイアルゲブラを定義し、定義関係の annihilator から得られる関係を導出する。
• $A(E^* \bigotimes E, r \bigoplus \bar{r})$ の商としてバイアルゲブラ $e(\text{A})$ を構成し、$\text{A}$ 及び $\text{A}^!$ の生成元を計量 $g^{ij} = \bar{\rho}^{ij}$ を用いて同一視する。
• 準中心的元としての準行列式 ${\rm D} = {\rm D}(\text{A})$ を導入し、${\rm D} u_j^i = h_{(j)}^{(i)} u_j^i {\rm D}$ を満たすようにし、$h_{(j)}^{(i)}$ は不変テンソル $\tilde{\rho}$ によって定まる。
• 反対作用素 $S(u_j^i) = {\rm D}^{-1} {\rm S}_L(u_j^i) = {\rm S}_R(u_j^i) {\rm D}^{-1}$ を定義し、${\rm D}$ の逆元を追加することでバイアルゲブラをホップ代数 $H(\text{A})$ に拡張する。
• ${\rm S}_L$ 及び ${\rm S}_R$ のクラメルの随伴写像を用いて反対作用素公理を検証し、$m \big( \text{Id} \bigotimes S \big) \bigcirc \triangle = m \big( S \bigotimes \text{Id} \big) \bigcirc \triangle = \rho \bigcirc \rho$ が成り立つことを確認する。
• 不変テンソル $\rho$ の循環性を用いて $h_{(j)}^{(i)}$ の構造を導出し、${\rm D}$ の準中心的作用を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マニンの量子行列群構成は、二次的代数を超えて非二次的正則代数へ一般化可能か？
• RQ2 3次元の三次的正則アーティン＝シュレーディンガー代数に対する自己同型量子群の構造はいかなるものか？
• RQ3 自己同型量子群のゲルファンド＝キリロフ次元は、3次元代数の古典的ケース $gk\text{-} \text{dim} = 9$ と比べてどうなるか？
• RQ4 準行列式 ${\rm D}$ は反対作用素を定義し、ホップ代数構造を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 三次的正則代数から生じる量子群は、エーウェンおよびオジエヴェツキーの $GL(3)$-型量子群の分類に既に含まれるのか、それとも新規のものか？

主な発見

• 任意の一般な3次元正則アーティン＝シュレーディンガー代数に対して、自己同型のホップ代数 $H(\text{A})$ が得られ、マニンの枠組みが二次的ケースを超えて拡張される。
• 三次的正則代数に対しては、得られる量子群は新規であり、エーウェン＝オジエヴェツキーによる $GL(3)$-型量子行列群の分類に含まれない。
• 特定の $S_2$ 型の三次的代数に対して、$H(\text{A})$ のゲルファンド＝キリロフ次元は 7 であり、予想される $gk\text{-} \text{dim} = 9$ と矛盾する。
• 準行列式 ${\rm D}$ は準中心的であり、${\rm D} u_j^i = h_{(j)}^{(i)} u_j^i {\rm D}$ を満たし、$S_2$ 型代数では $h_{(j)}^{(i)} = h^{j-i}$ かつ $h = -1$ となる。
• 反対作用素は $S(u_j^i) = {\rm D}^{-1} {\rm S}_L(u_j^i)$ として明示的に構成され、反対作用素公理を満たすため、$H(\text{A})$ がホップ代数であることが確認される。
• 準行列式の逆元は $S({\rm D}) = {\rm D}^{-1}$ を満たし、ホップ代数の公理および余単位元の性質 $\rho({\rm D}) = 1$ と整合的である。