[論文レビュー] Automorphisms of some Toeplitz and other minimal shifts with sublinear complexity

Ethan M. Coven, Anthony Quas+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

semigroups and automata theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、部分線形複雑性をもつ最小的シフトの自己同型群を調査し、特にトーペリッツシフトと原始的定長置換のケースに焦点を当てる。部分線形複雑性をもつクラスのトーペリッツシフトについて、両側自己同型群が巡回群であることを確立し、原始的定長置換シフトの自己同型群を計算するためのアルゴリズムを提供する。このアルゴリズムにより、このような系間の同相写像を計算可能にする。

ABSTRACT

We study the automorphism group of an infinite minimal shift $(X,\sigma)$ such that the complexity difference function, $p(n+1)-p(n)$, is bounded. We give some new bounds on $\mbox{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma angle$ and also study the one-sided case. For a class of Toeplitz shifts, including the class of shifts defined by constant length primitive substitutions with a coincidence and with height one, we show that the two-sided automorphism group is a cyclic group. We next focus on shifts generated by primitive constant length substitutions. For these shifts, we give an algorithm that computes their two-sided automorphism group, As a corollary we describe how to compute the set of conjugacies between two such shifts.

研究の動機と目的

• 部分線形複雑性をもつ最小的シフトの自己同型群の構造を特徴づけること。
• 両側および片側の設定において、商群 Aut(X,σ)/⟨σ⟩ の上限を特定すること。
• 特にトーペリッツシフトにおいて、両側自己同型群が巡回群である条件を同定すること。
• 原始的定長置換によって生成されるシフトの両側自己同型群を計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• このアルゴリズムを用いて、2つの同様の置換シフト間の同相写像を計算すること。

提案手法

• 複雑性関数の差分 p(n+1)−p(n) を分析し、複雑性関数の成長を制限し、自己同型の構造を制約する。
• 記号的動力学および語の組合せ論の結果を応用して、部分線形複雑性をもつシフトを研究する。
• 原始的定長置換における「一致」および「高さ1の条件」の概念を用い、自己同型群の巡回性を確立する。
• 置換行列の構造と固定点に基づいたアルゴリズムを構築し、自己同型群を計算する。
• 原始的定長置換シフトの自己同型が、有限位数の準同型によって誘導されることを活用する。
• 自己同型がシフト空間上でどのように作用するかを分析することで、2つの同様のシフト間の同相写像を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分線形複雑性をもつ最小的シフトの両側自己同型群が巡回群である条件は何か？
• RQ2 複雑性関数の差分に基づいて、商群 Aut(X,σ)/⟨σ⟩ をどのように上限づけられるか？
• RQ3 一致と高さ1をもつ原始的定長置換によって定義されるトーペリッツシフトの自己同型群の構造は何か？
• RQ4 原始的定長置換によって生成されるシフトの両側自己同型群を計算するためのアルゴリズムを構築できるか？
• RQ5 自己同型群を用いて、2つの同様の置換シフト間の同相写像を効果的に計算する方法は何か？

主な発見

• 一致と高さ1をもつ原始的定長置換によって定義されるトーペリッツシフトの両側自己同型群は巡回群である。
• 部分線形複雑性をもつクラスのトーペリッツシフトについて、商群 Aut(X,σ)/⟨σ⟩ は有限であり、かつ有界である。
• 原始的定長置換によって生成されるシフトの両側自己同型群を計算するアルゴリズムが提供されている。
• このアルゴリズムにより、2つの同様のシフト間の同相写像の集合を計算可能である。
• 原始的定長置換シフトの自己同型群は有限であり、置換の構造を用いて明示的に決定可能である。
• 指定された条件下で、自己同型群が自明または巡回群であることが結果として確認された。置換の性質に依存する。