[論文レビュー] Automorphisms of surfaces over fields of positive characteristic

Yifei Chen, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、正の特性 p の体上での幾何的に既約な代数的曲面の双有理自己同型群が、クラスが 2 以下のノルム的 p-ジョルダンであることを確立し、このような体上のランク 2 のクレモナ群が p-ジョルダンであることを示している。これらの結果は、正の特性幾何におけるジョルダン型の有限性性質を拡張し、この文脈における曲面上の有限群作用のための予想的枠組みの主要なケースを解決する。

ABSTRACT

We study automorphism and birational automorphism groups of varieties over fields of positive characteristic from the point of view of Jordan and $p$-Jordan property. In particular, we show that the Cremona group of rank $2$ over a field of characteristic $p>0$ is $p$-Jordan, and the birational automorphism group of an arbitrary geometrically irreducible algebraic surface is nilpotently $p$-Jordan of class at most $2$. Also, we show that the automorphism group of a smooth geometrically irreducible projective variety of non-negative Kodaira dimension is Jordan in the usual sense.

研究の動機と目的

• 正の特性の体上の代数的曲面の自己同型群および双有理自己同型群に対して、p-ジョルダン性およびノルム的 p-ジョルダン性というジョルダン型の有限性性質を正の特性に拡張すること。
• 特に PGL₂(𝑘̄) に含まれる大きな有限単純群 PSL₂(𝔽_{p^k}) の存在に起因する、古典的ジョルダン性の失敗を扱うこと。
• 特に曲面に対して、特徴零における既知の結果を正の特性に一般化すること。これには、双有理自己同型群および自己同型群の有限部分群に対する新しい構造的制約の導入と証明が含まれる。

提案手法

• 特徴零における手法、特に最小モデルおよび固定点論の手法を正の特性設定に適応すること。
• 最小モデル理論および曲面の分類を用いて、自己同型群の研究を既知のケース（特にデル・ペッツォ曲面および非負のコルダイラ次元の曲面）に還元すること。
• Sylow部分群の解析および p と互いに素な位数の有限部分群の構造を用いて、p-ジョルダン性枠組みを適用すること。
• 線型代数的群およびその p-ジョルダン性に関する結果（特に [BrF66] および [LP11] の境界）を、双有理自己同型群へと拡張すること。
• 導来系列および有限部分群内の正規アーベル部分群の構造を分析することにより、ノルム的 p-ジョルダン構造を確立すること。
• 任意次元における固定点論を用いて、特に最小モデルの文脈において、有限群の曲面上への作用を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性 p の体上での幾何的に既約な代数的曲面の双有理自己同型群は、クラスが 2 以下のノルム的 p-ジョルダンであるか？
• RQ2 正の特性 p の体上でのランク 2 のクレモナ群は p-ジョルダン性を満たすか？
• RQ3 正の特性における完全または準射影的代数的多様体の自己同型群に対し、p-ジョルダン性は拡張可能か？
• RQ4 正の特性における曲面の自己同型群および双有理自己同型群の p-ジョルダン定義における定数 e(Γ) および J(Γ) の正確な値は何か？
• RQ5 幾何的起源の p-ジョルダン群の文脈において、正規アーベル部分群の指数に対する乗法的境界は存在するか、それとも PGL₂(𝑘̄) の場合のように失敗するか？

主な発見

• 正の特性 p の体上でのランク 2 のクレモナ群は p-ジョルダンである。これは、任意の有限部分群が、p と互いに素な位数の正規アーベル部分群をもち、その指数が定数 J および e に対して J·|G_p|^e で有界であることを意味する。
• 正の特性 p の体上での任意の幾何的に既約な代数的曲面の双有理自己同型群は、クラスが 2 以下のノルム的 p-ジョルダンである。これは、有限部分群に強い構造的制約が存在することを示している。
• 正の特性 p の体上での非負のコルダイラ次元をもつ滑らかで幾何的に既約な射影多様体の自己同型群は、古典的ジョルダン性を満たす。これは、特徴零における既知の結果を拡張するものである。
• コルダイラ次元が 0 の曲面に対しては、p-ジョルダン性が成り立ち、有限部分群の構造は最小モデル理論および固定点解析を用いて制御される。
• 正の特性 p の体上での任意の射影多様体の自己同型群は p-ジョルダンである。これは F. Hu の結果を、自己同型群全体の文脈に一般化したものである。
• 本稿では、幾何的起源の p-ジョルダン群において、正規アーベル部分群の指数に対する乗法的境界は一般には存在しないことを示している。これは、PGL₂(𝑘̄) の部分群としての PSL₂(𝔽_{p^k}) における自明な正規アーベル部分群の指数が無限に大きくなることによって示されている。