[論文レビュー] Autoparallel variational description of the free relativistic top third order dynamics

Roman Matsyuk|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、擬ユークリッド変換に対して不変なラグランジュ枠組みを用いて、自由な相対論的トップの3次自己平行運動の2次形式変分法を提示する。パラメータ化された運動方程式がスピン-速度直交制約下でマティソンの3次方程式を再現するように構成され、世界線のパラメータ化を制御する自由パラメータを有する。これにより、平坦時空における相対論的スピン粒子の運動の変分的記述が確立される。

ABSTRACT

A second order variational description of the autoparallel curves of some differential-geometric connection for the third order Mathisson's 'new mechanics' of a relativistic free spinning particle is suggested starting from general requirements of invariance and 'variationality'.

研究の動機と目的

• 平坦時空における自由な相対論的トップの3次自己平行運動の変分的記述を構築すること。
• 変分的記述が擬ユークリッド不変性およびパラメータ独立性を満たすようにすること。
• 未パラメータ化された3次方程式（マティソンの方程式）を2次パラメータ化された変分枠組みに埋め込むこと。
• ラグランジュに自由定数 $ A $ を含むパラメータ化関数 $ \Psi $ の役割を特定し、それによる世界線幾何の影響を明らかにすること。
• 変分方程式と物理的制約 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ の等価性を確立すること。

提案手法

• 接触形式および半基本的 $ p $-形式を用いて、$ J^r(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^q) $ 上のジャンルバンドルで力学系を定式化し、変分問題を定義する。
• 変換 $ \Omega^{\alpha\beta} $ によって生成される擬ユークリッド群に対する不変性を確保するため、ラグランジアンを構成する。
• ラグランジュ乗数を用いて制約を導入し、$ \dot{u}^\alpha $、$ u^\alpha $、$ s^\alpha $ の項を含むラグランジアン $ L $ からオイラー＝ポisson方程式を導出する。
• 未パラメータ化された3次方程式を2次パラメータ化系に変換するために、パラメータ化関数 $ \Psi $ を導入する。
• 制約 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ とスピンベクトル $ s^\delta = \frac{1}{2\|\mathbf{u}\|} \varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} u^\alpha S^{\beta\gamma} $ を用いて、解ける偏微分方程式系に簡略化する。
• 得られた偏微分方程式を解き、$ \Psi $ を $ \|\mathbf{u}\| $、$ \|\mathbf{\dot{u}}\| $、$ \|\mathbf{\dot{u}} \wedge \mathbf{u}\| $ の関数として求め、自由定数 $ A $ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦時空における自由な相対論的トップの3次自己平行運動に対して、2次変分的記述を構築できるか？
• RQ2 このような変分枠組みで、擬ユークリッド不変性およびパラメータ独立性をどのように維持できるか？
• RQ3 未パラメータ化された3次方程式とパラメータ化された2次変分系を結ぶパラメータ化関数 $ \Psi $ の役割は何か？
• RQ4 スピンベクトル $ s^\alpha $ と制約 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ の導入が、変分構造に与える影響は何か？
• RQ5 世界線のパラメータ化に含まれる自由定数 $ A $ の物理的意味は何か？

主な発見

• 本稿では、制約 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ の下でマティソンの3次方程式を再現する2次変分方程式を導出しており、変分的一致性が確認された。
• 世界線のパラメータ化は自由定数 $ A $ によって支配され、同じ自己平行曲線の異なるパラメータ化を可能にする。
• 解として得られた $ \Psi $ は $ \Psi = \frac{3}{\|\mathbf{u}\|^2} \left( \frac{1}{2}\|\mathbf{\dot{u}}\|^2 + A\|\mathbf{\dot{u}} \wedge \mathbf{u}\|^{4/3} \right) $（$ \mu = 0 $）であり、速度および位置ベクトルとの外積に明示的な依存性を示す。
• ローレンツ変換不変性を保証するための必要条件として、制約 $ \mathbf{u} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{\dot{u}}} = 0 $ が導出された。
• ラグランジュによって定義される2次接続の自己平行曲線は、物理的制約 $ s_\alpha u^\alpha = 0 $ が課された場合にのみ、元の3次方程式を満たす。
• 定数 $ A $ は同じ世界線の異なるパラメータ化に対応し、$ A = 0 $ とすると標準的パラメータ化が得られる。